Предисловие
Весной 1991-го года я получил приглашение от университета Вашингтона преподать курс лекций, как часть серии, которая была вдохновлена более ранним поколением, проявившим благосклонность и дальновидность Джесси и Джоном Данцем. Лекции должны были проходить до основной аудиенции и я волен был выбирать тему.
Ранее, примерно за тридцать лет, в то время как я проводил обширные эксперименты в теории предсказания погоды, я столкнулся с феноменом, который позже назвали «хаосом» - кажущееся непредсказуемым и непоследовательным поведение, которое тем не менее соответствуют точным и часто просто выразимым правилам. Ранние исследователи случайно регистрировали поведение подобного рода, но обычно при самых различных условиях. Часто они не могли даже понять, что видели, и просто принимали это за нечто, мешающее им заниматься иными более важными делами. Моя ситуация была уникальность, я действительно понял, что это, но мои эксперименты терпели неудачу, поскольку я не смог составить определенных уравнений, которые бы решались хаотически. Внезапно, хаос стал чем-то желательным, по крайней мере при определенных обстоятельствах, и в последующие годы я стал все более и более обращаться к этой теме, как к самостоятельному феномену, который необходимо изучить.
И мне было легко решить, какую выбрать тему для своих лекций. Я принял приглашение и выбрал заглавие «Сущность хаоса». В итоге курс из трех лекций принял окончательную форму. Первая была посвящена хаосу и иллюстрировала основные его свойства на простых примерах, а заканчивалась она описанием некоторых родственных феноменов – нелинейность, комплексность и фрактальность – что также иногда называют «хаосом». Вторая лекция имела отношение к глобальному вопросу погоды, как комплексному примеру хаотичной системы. Последняя представляла собой сумму наших знаний о хаосе, предлагающая описание различных хаотичных систем, заканчивающаяся некоторыми философскими концепциями. В рамках ожидаемой аудиенции я избегал математических формул и технических терминов, за исключением некоторых достаточно простых.
Настоящая книга с тем же названием написана в духе лекций Данца. Она содержит тот же материал с дополнительными описаниями, заполняющими пробелы, которые неизбежно возникли в ходе устной презентации. Ведущая лекция была расширена и стала главами 1,2 и 5, в то же время вторая превратилась в главу 3. Последняя лекция с историческим аспектом начинается с открытия Нептуна, прослеживает работу Генри Пуанкаре и его последователей и охватывает мои собственные исследования в хаосе, ставшая главой 4.
Мое решение превратить лекции в книгу было вдохновлено тем, что хаос, а также связанные с ним концепции – странных аттракторов, основных границ, периоды двойной бифуркции и подобные им – можно объяснить в книге читателю без матиматического или иного образования, даже не смотря на то, что сам по себе хаос представляет собой новую ветвь математики или даже науки. Подобно тому, как было в лекация, я представил историю хаоса простым языком , за исключением мест, где хотел избежать длинных фраз, я вставил некоторые стандартные термины. Я поместил уместные математические уравнения и их ответвления в приложение, которое не обязательно читать, чтобы понять основной текст, но которые могут существенно помочь читателю с математическим образом мышления.
Конечно, нельзя сказать, что в основном тексте вообще нет математики. Он есть но представляет собой достаточно узкий математический взгляд. Например, едва заметив, что одна иллюстрация показывает две доски скользящих вниз на тридцать метров по склону, на дистанции в десять сантиметров друг от друга и заканчиваясь в десяти метрах, вы можете сказать, что тут есть математика. Словесное описание этой иллюстрации склоняется также к математике. В любом случае, хорошее и качественное применение математики в иллюстрациях, я считаю уместным, тем более, что большинство из них получены из компютерного моделирования. И все подано таким образом, что читателю не нужно копаться в формулах или программах, чтобы понять сообщение, содержащееся в иллюстрации.
В создании книги мне помогали множество людей, перед которыми я в долгу. Прежде всего это хочу поблагодарить Фонд Данца, без спонсорской помощи которого я никогда бы не приступил к лекциям на эту тему. Также я должен поблагодарить Вашингтонский Университет за то, что выбрали меня в качестве лектора. Я в неоплатном долгу перед Научным отделом слежения за динамично изменяющимся климатом и соответствующим программным обеспечением. Как и перед руководителем отдела Джеем Фином, за поддержу в моих исследованиях хаоса и атмосферных явления, а также за написание огромного числа программ и компьютерное просчитывание и моделирование, результаты которого стали иллюстрациями в книге. Я бы хотел поблагодарить Джоеля Сломана за перепечатку и ассистирование не только в создании финальной версии рукописи, но и за работу с черновиками. Дину Шпигель за ее помощь в решении компьютерных проблем и Джейн МакНабб за то, что взяла на себя тяжесть административной работы, что в ином случае свалилось бы на меня.
Благодарность Дейву Фульцу из Чикагского Университета за фотографии его экспериментов по отражения и Американское Метеорологическое сообество за то, что позволили ему это. Также благодарности Роберту Датторе и Уилбуру Шпенглеру из Национального Центра по изучению Атмосферы за предоставление записей слежения за многие годы за состоянием погоды в Сингапуре.
Я должен выразить особую признательность Мерри Кастон, прочитавшей рукопись страницу за страницей, за ее мудрые комментарии, заставившие меня сделать множество полезных дополнений и другую помощь. Сесть множество других людей, кому я обязан в той или иной степени, повлиявших своими словами на идеи в книге. Этой связи я должен в частности упомянуть Роберта Корнетта, Джеймса Карри, Роберта Девани, Алана Фаллера, Роберта Гилборна, Филлипа Мерилиса, Тима Палмера, Брюса Стрита, Йошике Уеда, Джея Майкла Уоллеса и Джеймса ЙОрна. А также хочу поблагодарить всех тех, кто повлиял на меня незаметным образом и тех анонимных наблюдателей, о которых я могу сказать только одно, что они должны быть упомянуты.
Наконец, я очень благодарен своей жене, Джейн, оказавшей мне моральную поддержку на всем протяжении подготовки книги и за то, что составила мне компания в огромном числе путешествий по сбору материала , а также моих детей Нэнси, Эдварда и Черил – адвоката, экономиста и психолога – прекрасно справившихся со своими ролями интеллигентных мирян и внимательно изучавших рукопись на всех стадиях ее создания.
Глава 1
Проблески Хаоса
Все это только выглядит случайным
Слова не являются живыми созданиями. Они не могут дышать, ходить и не обладают теми или иными присущими живым свойствами. Даже не смотря на то, что они служат определенным людям, у них нет собственных уникальных жизней. Слово рождается в языке, имея только одно значение. Но по мере его роста оно может приобрести новое значение, сходное, но все же отличающееся от основного. Часто эти значения являются одним смыслом другого более старого. В наши юные годы мы понимаем, что значат термины «горячо» и «холодно», но по мере взросления мы открываем, что есть горячие следы и слабое утешение (в оригинале идиоматической фразы – cold comfort – холодный комфорт), или горячее опровержение и холодный прием. В этих случаях привычные термины выступают в тех значениях, не имеющих отношения к измерению температур. В очень раннем возрасте мы учимся тому, что значит слово «пить», но позднее узнаем, что есть выражение «ты напился», которое совсем не относится к тому, чтобы выпить обычного сока. Действительно, если он скажет кому-то еще, что мы пьем, он вероятно имеет ввиду не просто то, что мы часто употребляем алкоголь, а то, что пьем для того, чтобы поддерживать здоровье или в силу привычки.
Точно такая же история произошла со словом «хаос». Это древнее слово, в изначальном смысле определяющее отсутствие каких-либо систем и погружение всего сущего в неразбериху. Однако часто хаосом называют просто отсутствие того или иного порядка, который должен быть в настоящий момент. Несмотря на возраст, от начала жизни до смертного одра это знакомое слово сопровождает нас. Однако у него есть множество сходных слов, сходных между собой, но технически имеющих различные значение.
Не удивительно, что спустя годы, данный термин употребляется многими учеными для описания той или иной разновидности случайности. Интересен пример, приведенный в книге «Порядок вне Хаоса», написанной нобелевским лауреатом Ильёй Пигогином и его коллегой Изабель Стенджейрс. Эти авторы имели дело с различными дезорганизованными системами, имеющих спонтанную природу, просто бесформенной жидкой массой, которая после охлаждения принимала форму кристалла. Поколение или два ранее математик Роберт Винер иногда даже употреблял хаос во множественном числе. Он писал о хаосах или нескольких хаосах, когда ссылался к системам молекул, формирующих газ или случайному скоплению водяных капель, образующих облако.
Однако слово упорно оставалось в употреблении, хотя наука в середине семидесятых годов часто в научной литературе описывала ту или иную его разновидность. Можно даже сказать, что существует несколько разновидностей хаоса. В этой книге мы очень близко познакомимся с одним из них. Существует множество процессов, таких как колебание маятника в часах, качение камня с горы или разбивание океанских волн о берег, в которых используются те или иные процессы. Среди них, возможно таких как камень или волны, кроме колебаний маятника, есть процессы, выглядящие случайными, но на деле таковыми не являющимися. Я должен использовать термин хаос для общего описания процессов подобного вида – появляющихся так, словно действующих по воле случая, а на деле подчиняющихся точным законам. Это использование спорно, но часто употребляется в технических работах сегодня и научные труды о хаосе, хотя уже очевидна вся двусмысленность этого слова.
Читая подобные работы сегодня, мы должны помнить о том, что за этим словом могут скрываться различные значения. Иногда это будет феномен, описывающий вещи, имеющие случайный характер в пространстве, а не во времени, подобно диким цветам, случайно растущим в поле. С другой стороны, все здесь скорее запутано и достаточно сложно, нежели случайно, как в рисунке восточного ковра. Ситуация усложняется еще и тем, что сегодня часто используются другие термины, вроде нелинейности, комплексности, фрактальности, вместо хаоса и в его значении, что дает несколько интерпретаций событий. В последней главе я скажу несколько слов об этих сходных выражениях.
В бестеллере «Хаос: Создание новой науки», где рассматривается хаос с нескольких точек зрения, Джеймс Глейк полагает, что теория хаоса имеет все шансы быть основным конкурентом теории относительности и квантовой механики по влиянию на научную мысль. Сбудется или нет это предсказание, очевидно одно, что «новая наука» без вопросов взяла с места в карьер и имеет все шансы на то, чтобы стать фаворитом в ученой среде. Системы, описываемые как примеры хаоса, часто можно наблюдать без телескопов или микроскопов, и они могут быть записаны без замедляющих или наоборот сверхскоростных видеокамер. Феномен хаоса просто является нашей ежедневной реальностью, подобно падению листа с ветки или развевающегося на ветру флага, а также процессы смены климата или даже можно взять саму жизнь как есть.
Я стараюсь использовать термины «полагаю» и «предположительно», поскольку есть кое-что, что можно сказать об этом феномене, что не вполне подходит под определение «случайный». Материальные физические системы могут иметь по крайней мере небольшое число истинных случайностей. Даже казалось бы регулярное движение маятника в часах может иметь небольшие отклонения от траектории, вследствие случайного движения воздушных потоков или вибрации стены, возникающей от ходящих поблизости людей или от проезжающих на улице машин. Если хаос в действительности состоит из вещей не случайных и только кажущихся таковыми, может ли существовать в повседневной жизни небольшое число настоящих случайностей, подчиняющихся математической абстракции? Не могут ли такие ограничения несколько уменьшить универсальное значение полученных данных?
Чтобы ответить на этот вопрос, нет необходимости притягивать за уши определение хаоса, включая в него феномены небольших случайностей, и не нужно делать вывод, что небольшие случайности становятся причиной большой случайности. Факт состоит в том, что процессы реального мира, происходящие случайно – такие как падение листа или колыхание флага – могут квалифицироваться, как хаос, который будет продолжаться в случайном порядке, даже если кто-то уберет истинную случайность.
На практике возможно очистить реальную систему от действительной случайности и наблюдать соответствующую последовательность, но часто мы можем догадаться, что будет, просто изучив вопрос теоретически. Большинство теоретических работ реальных феноменов являются приближенными. Научные попытки объяснить движение простого маятника, который изначально не является хаотичной системой, пренебрегают такими вещами, как вибрация и воздушные потоки, оставляя такие вещи более практичным инженерам. Часто он или она даже не обращают внимание на суть работы часов с маятником, на такие вещи как внутреннее трение, а также что-либо подобное. В результате карандашно-бумажная система является только моделью, но такая, с которой очень удобно работать. Кажется логичным, назвать реальную физическую систему хаотичной, если это очень реалистичная модель. Однако и в той системе, где случайность подавляется, все же возникает случайное поведение.
Пинбол и бабочки
Мое словесное определение хаоса с одной стороны помогает ухватить саму сущность вопроса, а с другой пожалуй, заставит многих математиков вздрогнуть. Возможно большинство людей в своей повседневной жизни даже не подозревает, как сильно математика зависит от определений. Часто смысл определения передается настолько достоверно, насколько точно подобраны для него слова. Понятное дело, что прежде, чем кто-то создаст твердую теорию феномену, этому кому-то необходимо получить недвусмысленное определение события.
В настоящее время пример разговорного определения неоднозначен, поскольку «случайность» сама по себе имеет два различных определения, хотя, как мы можем видеть, это разногласие может быть легко устранено указанием определенного намерения. Еще серьезнее выглядит простое утверждение «выглядит случайным», что не может быть темой строгого обсуждения, поскольку то, что видит один человек, совсем не обязательно то же самое, что наблюдает другой. Все это заставляет нас выработать рабочее определение хаоса, при этом сохраняя разговорный дух.
В соответствии с узким определением случайности, это случайная последовательность событий, в которой каждое последующее событие следует за предыдущим. Обычно, это понимается так, что есть некоторое случайное событие, а за ним следует другое, которое может случиться в любое время. Известный пример, часто служащий парадигмой случайности, это бросание монеты. В ней есть орел и решка. Очевидно, что здесь могут быть только две вещи, при чем одна следует за другой. В процессе действительной случайности, возможность выпадения орла при бросании монеты составляет 50% или около того. И это справедливая вероятность, если только мы не кидаем монету так сильно, что она начинает терять форму. Если мы уже знаем возможность, при этом зная каким вышел последний бросок, то мы никоим образом не сможем догадаться, каким будет следующий результат броска.
Правда, зная результаты достаточного числа броской одной и той же монеты, можно предположить с высокой степенью вероятности, когда выпадет орел. Если в процессе бросков орел выпадает 55% всех попыток, мы можем предположить, что монета имеет дефекты, и эта возможность справедлива, а эти 55% можно будет предсказать с большей вероятностью, чем те 50, что мы предполагали ранее.
Монета – это пример полной случайности. Это разновидность той случайности, когда мы думаем о случайных номерах или хотим использовать генератор случайных числе. В соответствии с более широким определением случайности – это некоторое простое событие, которое может породить за собой одно из нескольких других случайных событий, при этом даже не обязательно, что это произойдет и будет что-то дальше. То, что случится в действительности, зависит о того, что только что случилось. К примеру, как и в случае с бросанием монет, что часто ассоциируется со случайными играми, можно предложить перетасовку карт в колоде. Этот процесс только предположительно случаен, поскольку, даже если тасующим бы пожелал – к примеру, если с каждой стороны колоды он запланировал снимать стопку точно в середине а затем позволял одной карте падать на стол из одной стопки, а затем из другой – то в любом случае, он не смог бы точно контролировать мускульное усилие в пальцах, чтобы делать математически точную тасовку, если конечно он не гений тасовки. И даже этот процесс нельзя назвать полностью случайным, поскольку одна тасовка не может изменить весь порядок карт в колоде. А вот несколько тасовок вполне способны справиться с этой задачей.
Детерминистическая последовательность заключается в том, что только одно событие может случиться дальше; на этом основан великий закон эволюции. Случайность в широком смысле слова, следовательно, является отсутствием детерминизма. Эту разновидность случайности я и намереваюсь описать словом «хаос», то есть как нечто, что выглядит случайно.
Бросание монеты и перемешивание колоды карт – это процессы, которые имеют в своей основе дискретные шаги – последовательное бросание и перемешивание. Для большого числа последовательностей, таких как скорость автомобиля на шоссе, концепция следующего события теряет свое значение. Тем не менее, оно все еще может определяться как случайное в широком смысле слова, и можно сказать, что более чем одно событие, такие как смена скорости авто, возможно в определенное время в будущем. В этом случае мы как бы приближаем будущее время к настоящему, то есть к узкой полосе возможностей – машина может моментально остановиться в плотном траффике или резко повысить скорость через десять секунд, но не через одну секунду. Математики обнаружили интересную возможность ввести концепцию полной случайности в происходящих процессах, хотя представить эти процессы и обрисовать их природу достаточно сложно.
Системы, которые меняются детерминистически в прогрессии, как математические модели колеблющегося маятника, катящегося камня и волны, разбивающейся о берег, а также системы, которые меняются в непоследовательной случайность – возможно реальный маятник, камень или волна – технически известны, как динамические системы. И по крайней мере в случае с моделями, состояние системы может быть описано определенными значениями или переменными. Для модели маятника существуют две переменные – положение и скорость качания - этого достаточно; скорость может рассматриваться как положительной, так и отрицательной, в соответствии с тем направлением, куда в данный момент совершается колебание. Для модели камня снова требуется знать положение и скорость, но если взять более реалистичную модель, потребуются новые переменные, описывающие ориентацию в пространстве и кручение. Разбивающаяся о берег волна, если описывать ее реалистичную модель, также потребует уже дюжин переменных или даже сотни.
Возвращаясь к хаосу, мы можем описать его поведение, как детерминистичное или близкое к тому, что случается в осязаемой системе, где происходит достаточно большое число случайностей, но при этом все не выглядит детерминестически. Это значит, что состояние в настоящее время полностью или почти полностью определяет будущее, которое не обязательно будет именно таким. Как детерминестическое поведение может выглядеть случайным? Если действительно идентичные состояния случаются в двух или более случаях, вряд ли случиться так, что идентичные состояния обязательно будут следовать друг за другом. Не исключено, что они будут восприниматься по-разному. То, что может случиться, вместо того что почти случилось, но не вполне, могут быть идентичными состояниями, которые проявляются подобным образом, как состояния, которые следуют друг за другом, тогда как наблюдаются они различно. Действительно, в некоторых динамических системах обычно два идентичных состояния могут следовать друг за другом, но при этом они не будут соответствовать двум состояниям, выбранным случайно в длительной последовательности событий. Системы в которых это случается называются зависимыми от начальных условия. С некоторыми поправками, которые рассмотрены сейчас, подобные системы могут служить приемлемыми определениями хаоса, в том смысле какой я вкладываю в это слов в данной книге.
«Начальные состояния» не обязательно те, что возникают при создании системы. Часто они являются началом эксперимента или вычисления, но они также могут лежать на любом временном промежутке интересном наблюдателю. Так для одного человека это будут начальные состояния, а для другого серединные состояния или даже конечные.
Возникающие при этом ощущения воспринимаются реальней, чем возникающая разница между двумя состояниями, возникающими в со временем. Например, детерминистская система, в которой начальное различие одной еденицы между двумя состояниями будет постепенно увеличиваться до содни единиц, в то время как начальная разница сотой единицы или даже миллионной будет постепенно увеличиваться также до сотен единиц, даже не смотря на то, что более позднее увеличение будет неизбежно требовать больше времени. Существуют другие детерминистские систему, в которых начальное различие одной единицы будет увеличиваться до сотен единиц, но начальное отличие сотой единицы будет увеличиваться только до одной единицы. Систему такого типа называют хаотичными, в то же время другие не рассматриваются как хаотичные, даже не смотря на то, что они имеют сходные свойства.
Поскольку хаос отличается детерминестичностью, или около того, случайные игры должны быть совершенно непредсказхуемы и давать нам простые примеры, но в реальности игры не настолько случайны. Среди устройств, способных создавать видимость хаоса, можно назвать монеты или карты, а также пинбол. В идеале последний нужно взять в его ретро-варианте, без лопаток или сверкающих огней, а с простыми рычажками, чтобы управлять мячиком, пока он не свалится в яму.
Одной прекрасной весной в тридцатых годах, когда я мои годы проходили в Дармуте, внезапно в местных хозяйственных магазинчиках и закусочных появилось несколько пинбол-мащин. Вскоре многие студенты стали победителями в этой игре, но еще больше терпело неудачу и большое число десятицентовиков. Прошло некоторое время, прежде чем городские власти решили убрать машины, поскольку они нарушали закон об азартных играх. Однако они успели одуматься, поскольку поняли, что умение в игре стоит большего, нежели слепой случай. Поэтому аппараты легализовали.
Однако стоит задуматься над тем, что будь оно так, то все студенты рано или поздно отточили бы свое мастерство и стали бы выигрывать постоянно. Этого не случилось потому, что существовал хаос. Подобно успешным броскам монеты или тасовке колоды карт, всегда существовало некое «событие», которое определялось как именно мячик ударится о биту. Событие состояло частично от биты, задающей направление мячика и скорости мяча, оттолкнувшегося от биты. Заметим, что я использую скорость в ее техническом смысле слова, чтобы указать на зависимость скорости с направлением движения, как на просто положение с некоторой ссылкой, подразумевающей дистанцию вместе с направлением перемещения.
Допустим, что два мяча отскакивают один за другим от одной биты в слегка различных направлениях. Когда мячи снова достигают биты, их положение будет немного ближе, в сравнении с расстоянием между битами, но не обязательно близко, сравнительно с диаметром мяча. Таким образом, если один мяч ударяется о биту прямо и отправляется в положение, откуда он прилетел, то другой может удариться под наклоном и отравиться в правый угол. Приблизительно это произошло на рисунке 1, который показывает пути центров двух мячей, которые запустил игрок с почти равными скоростями. Мы видим, что угол между двумя путями может легко возрасти вдесятеро, когда бы ни ударился мячик о биту, и тогда один мяч полностью потеряет биту, а по другому будет удар. Таким образом игроку необходимо будет увеличить его или ее контроль в десятеро, чтобы ударить еще одной битой в нужном направлении.
Конечно, пинбол-машина на рисунке 1 является математической моделью, а траектории движения мячей были рассчитаны на компьютере. Модель включала противодействующий эффект трения, а также потерю энергии при ударе мяча о биту или о стенки, но в реальной машине, мячик получает некоторый крутящий момент от удара биты, что может служить отправной точкой удара другой битой. Отсюда нельзя сделать вывод, что подобное поведение хаотично – поскольку траектория зависит от начальной скорости.
Даже в таком случае, модель остается несостоятельной в плане обеспечения идеального примера хаоса, поскольку хаотичное поведение прекращается сразу после последнего удара битой. Если, например, отдельный мяч ударяется только семью битами на пути вниз, он может получить миллион начальных направлений в пределах десяти градусов, но изменение в десять миллионов вариантов потребует всего одного градуса. Чтобы учесть все требования для хаоса, машина должна быть бесконечно длинной – такое возможно в модели, но не в реальности – или также если удерживать мяч в игре бесконечно долго. Любое изменения направление, даже на миллионную миллионной градуса, может стать причиной выхода за пределы десяти градусов.
Таким образом, учитывая различные зависимости в любой системе, невозможно сделать точные предсказания или даже предварительно спрогнозировать что-то на отдаленное будущее.
Рисунок 1. Пинболл-машина. Отображенные кривые являются траекториями центров двух мячей, которые начали свой путь с почти равными скоростями. Радиус мячей указан расстоянием между битой и резко меняется в направлении траектории.
Это предположительное утверждение, которое мы не можем измерить полностью избавившись от сомнений. Мы не можем определить это на глаз, до ближайшей десятой градуса и даже не до целого градуса, в каком направлении будет двигаться мячик. Это значит, что мы не можем предсказать, до ближайших десяти градусов направление мяча после одного или двух ударов о биту, поэтому мы не можем предсказать какая именно бита ударит по мячу в третий или четвертый раз. Умное электронное оборудование может измерить направление до ближайшей тысячной градуса, но это вряд ли даст возможность точно предсказать поведение двух или трех бит. Как мы сможем понять из дальнейшего содержания книги, зависимость от различных факторов является главной причиной хорошо известной неудачи с предсказанием точного прогноза погоды.
Я упомянул два типа процессов – те что происходят шаг за шагом, как сортировка карт в колоде, а также те, что происходят на протяжении определенного времени, подобно переключению скоростей или положению авто на шоссе. С точки зрения динамических систем подобные типы не обязательно не связаны. Игра в пинболл может служить иллюстрацией к фундаментальной связи между ними.
Допустим, что мы наблюдаем 300 мячей, как они бегают внутри машины. Это дает нам возможность составить диаграмму, содержащую 300 точек. Каждая точка будет указывать положение центра одного из мячей, когда мяч ударяется первой битой. Последняя диаграмма может быть представлена, как полная карта движений, хотя она будет немного искаженной. Очень близкие пространства кластеров очков на первой диаграмме, могут появиться как узнаваемый кластер на второй. Динамические системы, которые различаются дискретными шагами, как пинболл-машины, где «события» это удары биты, принято называть маппингом. Математический инструмент для построения маппинга – это дифференциальные уравнения.. Система дифференциальных уравнений – это определенный набор формул, которые вместе выражают значением всех возможностей в следующем шаге в числовых терминах текущего шага.
Я рассматривал игру в пинболл, как последовательность событий, но, конечно, движение мяча между ударами настолько точно управляется физическими законами, насколько точно совершаются обратные удары битой. Поэтому, в том же ключе, мы рассматриваем движение монеты, пока она в воздухе. Почему же поздние процессы должны быть случайными, а ранние хаотичными? Между любыми двумя бросаемыми монетами существует человеческое вмешательство, поэтому исход одного броска определяет исход следующего. Что касается мяча, единственное человеческое влияние на его траектория случается перед первым ударом биты, если только игрок не овладел мастерством управления машиной без активации значка TILT.
Поскольку мы можем наблюдать мяч между ударами, то имеем возможность построить диаграммы, показывающие положения центров 300 мячей в последовательности почти одинаковых временных промежутков, скажем каждые пятьдесят секунд вместо только моментов ударов. И снова диаграмма будет полномасштабной картой предшествующих ударов. Теперь, однако, мы заметим лишь небольшое изменение от одной диаграммы к другой и появится своеобразный плавный переход через всю последовательность. Динамические системы, изменяющиеся во времени, подобно маятнику и катящемуся камню и, очевидно, пинбол-машина, если рассматривать момент полного движения мяча, технически известны, как потоки. Математический инструмент для выражения потоков это дифференциальные уравнения. Системы дифференциальных уравнений представлены совокупностью формул, показывающих состояние, в которых все переменные меняются в настоящее время, то есть можно сказать, что это меняющиеся сейчас значения переменных.
Когда игра в пинболл рассматривается как поток, вместо маппинга, и в качестве модели используется достаточно простая система дифференциальных уравнений, становится возможным решить эти уравнения. Полное решение будет содержать выражения, дающие значения переменных в любое данное время в числовых терминах в любое представленное время. Когда рассматриваются моменты последовательных ударов биты, выражения будут вычисляться ничем иным, как системой дифференциальных уравнений. Таким образом из потока будет получаться маппинг.
Действительно, мы можем создать маппинг из любого потока, просто рассматривая поток как совокупность выбранных временных промежутков. Если не существует особых событий, подобных удару о биту, мы можем выбрать те промежутки, какие пожелаем – например, каждый час. Очень часто, когда поток определен системой дифференциальных уравнений, у нас недостаточно удобных значений, чтобы решить их – некоторые дифференциальные уравнения по определению нерешаемы. В этом случае, даже несмотря на то что дифференциальные уравнения связанные с маппингом должны давать существующее отношений, мы не можем обнаружить, как именно они выглядят. Для некоторых реально существующих системы мы даже не обладаем всеми знаниями, чтобы сформулировать дифференциальные уравнения; можем ли мы написать уравнения, реалистично описывающее набегающие волны, со всеми их пузырьками и пеной, которые ветер заставляет разбиваться о скалистый берег?
Если игра в пинболл – это хаос, а бросание монеты это полная случайность, очевидно, что они не могут служить популярными символами хаоса, поскольку монета – это символ случайности. Тем более, что далеко позади в соревновании на символизм побеждает бабочки, поскольку она появляется в книге Джеймса Глейка, где вступительная глава названа «Эффект бабочки».
Данное выражение имеет довольно туманное происхождение. Впервые оно, вероятно, появилось на лекции в Вашингтоне в 1972 году, озаглавленной «Может ли один взмах крыльев бабочки в Бразилии спровоцировать торнадо в Техассе?». Я избегаю отвечать на этот вопрос, но отмечают, что если один взмах может привести к торнадо, что в принципе не реально, то это могло бы быть равно успешному предотвращению возможного торнадо. Я также замечаю, что один взмах не может иметь эффект на погоду больший, чем любой взмах любого крыла любой бабочки, без упоминания активности других факторов, включая наш собственный. Данная лекция представлена в оригинальном виде в Приложении 1.
Рисунок 2. Бабочка.
Немного неясны истоки происхождения фразы, как первоначального определения хаотичной системы, которые я детально изучал. Существуют небольшие графические отображения особой коллекции состояний, известных как «странные аттракторы», которые по форме напоминают бабочку, поэтому их так и назвали. На Рисунке 2 мы видим одну бабочку; именно эти окружности появились на внутренней обложке книги Глейка. Все люди, кому я говорил об это, полагают, что эффект бабочки был назван как раз в честь этих аттракторов. Возможно, так и есть.
Некоторые люди также говорили мне об истории Рея Бредберри «И грянул гром», написанной задолго до вашингтонской встречи. В ней смерть доисторической бабочки, и невозможность ее дальнейшего воспроизводства, запускает цепную реакцию, изменяющую постепенно реальность наших дней.
До вашингтонской встречи я иногда использовал чайку, как символ осознаваемой зависимости. Переключение на бабочку было действительно сделано руководителем сессии, метеорологом Филипом Мерилеесом, который не смог вместе со мной установить точно, когда термин впервые попал в заголовки программы. Фил недавно уверял меня, что не знаком с историей Бредбери. Возможно, что бабочка с ее кажущейся хрупкостью и слабостью, естественный символ чего-то небольшого, что может спровоцировать великое.
Другие символы ссылаются к чайке. В роман Джорджа Р. Стюарта «Шторм», копию которой сестра дала мне на рождество, когда она впервые узнала, что я хочу стать метеорологом, по сюжету считалось, что человек, чихнувший в Китае, может вызвать сильный снегопад в Нью-Йорке. Сказанное профессором Стюартом, было просто эхом того, о чем в реальном мире давно говорили реальные метеорологи уже многие годы, иногда в шутку, а иногда всерьез.
Оно не попадает в ритм
Существует большое число известных состояний в кардиологии, называемых аритмии; некоторые из них могут быть даже фатальны. Сердце начинает биться с нерегулярными интервалами, а иногда просто в разнобой, вместо того чтобы работать как метроном. Можно легко догадаться, что аритмии это своеобразный символ хаоса. Ясно, что должно быть отсутствие какого-либо порядка, но если рассмотреть внимательно, как все происходит или любой процесс, отклоняющийся от ритма, можно все равно найти определенную зависимость.
Точные определения не всегда подходят. Если описывать хаос в терминах явной зависимости, можно обнаружить, насколько трудно определить точно феномен хаоса.
Пинболл-машина на этом фоне не должна создавать проблем. Если мы наблюдаем как катаются мячики и замечаем их положение и скорость в некий «начальный» момент времени, то должно быть достаточно просто для нас поставить новый катящийся мяч в то же положение и сообщить ему те же скорость и направление, а затем проследить, будет ли он соблюдать ту же траекторию, как и предыдущий; возможно, что и нет, если мой анализ был правильным. Если вместо этого у нас есть система из флага, развевающегося на ветру, то мы не сможем повторить это действие. Мы можем ухватить положение флага при помощи высокоскоростной фотосъемки, но будет крайне трудно придать ему ту форму специально, какая она схвачена на снимке, особенно если у нас сильный ветер. И еще труднее вычислить скорость в каждой точке развевающегося флага.
Возможно мы сможем удержать флаг при помощи проволок или бечевки, а затем придать ему начальный момент времени, когда бечевка будет перерезана. Если есть сомнение относительно действий ветра, которые в принципе непредсказуемы и его потоки могут меняться, то для чистоты эксперимента можно использовать электрический вентилятор. Тем не менее мы должны будем воспроизвести очень необычные начальные состояния – развевающийся флаг ведет себя иначе, чем связанный – и эти состояний могут привести к неожиданному поведению, превратив наш эксперимент в полный хаос.
К счастью, существуют простые свойства систем подобных развивающемуся флагу. Одно из них – это ритм. Перед тем как удостовериться в этом, мы должны проверить особое свойство динамических систем, называемое компактностью.
Допустим, что при игре в гольф вы достаете любимую Т-образную клюшку и отправляете мячик на траву. Если бы вам нужно было отправить вслед ему второй мяч, вы бы смогли сделать это так точно, чтобы он был в радиусе фута от первого? Скорее всего нет; даже в безветренную погоду вам бы потребовалось повторить то же самое мускульное усилие, совершить те же действия, что и в первый раз, а это практически невозможно. Если вместо этого у вас есть несколько корзин мячей и некоторое время, то рано или поздно вы бы уложили один из мячей в нужное место, хотя не так близко, как первый. Все это не потому, что ваша игра как-то улучшилась в течении дня, а просто потому что по теории вероятности, часть мячей ушла бы в пруд, другие в песчаные ловушки, и лишь немногие, а скорее всего один, достиг бы цели. Утверждение будет справедливо и в том случае, если критическая дистанция между центрами двух мячей один сантиметр или даже меньше, а в это время ваш кэдди будет поднимать каждый мяч, отмечая место его падения. Конечно, в этом случае вам может потребоваться намного больше корзин с мячиками.
Поверхность поля для гольфа имеет два измерения – точка на нем может бывать обозначена как расстояние и направление от игрока – и в эту точку вы попадаете. Многие динамичные системы подобны мячу на поле для гольфа, и их можно описать в терминах определенного числа уравнений, каждое из которых определяет место падения. Если бы мы понаблюдали одну из этих систем достаточно долго, то рано или поздно заметили бы состояние, которое почти точно повторяет уже случившееся, просто потому что число всех состояний крайне велико, хотя ни одно из них не будет точно повторять любое другое. Системы в которых совершаются близкие повторения – в радиусе меньше чем один градус – называются компактными.
Можно предположить с чисто практической стороны, что флаг является компактной системой. Изгибы его, повторяющиеся на ветру, часто повторяются в виде гладких волн. Это дает нам возможность определить состояние флага положением и скоростью каждой точки избранной системы, возможно включая центры звезд, если это американский флаг, вместо того, чтобы использовать все точки флага. В этой системе два близких состояния должны рано или поздно случиться, и эта разумная интерполяция укажет на равенство скорости и положения любых других точек флага, которые могут принимать равные состояния.
Рассмотренная ранее пинболл-машина не является компактной системой. Не только потому, что тут не могут произойти повторяющиеся события, пока в игре один мячик, но и потому, что действует сила трения, постоянно стремящаяся замедлить мячик и есть только один способ для него преодолеть это или установить скорость близкой к основной в машине. Однако мы можем легко наблюдать модифицированные системы, где близкие повторения неизбежны.
Представьте очень длинную пинболл-машину; она может облокачиваться с наружной стороны на местный хозяйственный магазин и продолжаться на городские улицы. Допустим, игровая поверхность будет размечена на определенные секции, скажем длиной в метр, и давайте устроим биты в каждой секции так, чтобы они были одинаковы друг другу. Тогда за исключением того, что все будет происходить в разных секциях, полные траектории двух мячей, занимающих сходное положение в разных секциях, и их движение будет происходить с равной скоростью – скоростью и направлением – все одинаково. Таким образом для практических целей система может быть определена скоростью мяча с его положением в отношении к ключевой точке секции, например верхняя часть биты. Все эти условия отличаются ограниченным диапазоном. Отсюда следует, что если городская улица достаточно длинная, то рано или поздно случится блиизкое повтороение.
На Рисунке 3 мы видим вычисленный на компьютере путь центра одного мяча, как это бывает, если пройти восемьдесят бит, в машине не только достаточно длинной, но и узкой; игровое пространство только вдвое шире, чем сам мяч. Каждая бита установлена на одной четверти пути от одной стенки до другой. Длинная машина показана в виде четырех столбцов; правосторонняя колонка содержит первые двадцать бит, а каждая остальная колонка содержит по одной вправо. Вертикальная шкала сжата, как если бы мы смотрели из такой точки, когда наш глаз расположен лишь чуть выше игровой поверхности, поэтому закругленный верхний конец представляется нам эллиптическим, так если бы площадь находилась прямо ниже мяча, как показано. Вы можете обнаружить, что рисунок проще изучать, если вы немного повернете его на четверть против часовой стрелки и взглянете на траекторию, как на график. Очевидно, что мячик полностью пропадет примерно на третей бите, но его отскоки от бит будут хорошо видны, как и от стенок.
Мы видим, что траектория от верхней первой биты вниз до седьмой биты в третей колонке почти повторяет траекторию во второй колонке. С начальной скоростью, использованной при вычислении, можно было ожидать раннего повторения первоначального состояния, но только в 40 битах от начала. Если бы игровое пространство было более широким, это бы дало мячу больше возможных положений в пространстве. Нам бы потребовалось ждать дольше, но все же не вечность.
Рисунок 3. Длинная пинболл-машина с одним мячом в каждой из четыре колонок. Вертикальная шкала сжата, следовательно удары мячей о биты будут чаще, чем о стенки.
Допустим теперь, что некоторая компактная система, возможно длинная пинболл-машина или флаг, не хаотична; отсюда следует, что в ней нет ощутимой зависимости. Допустим, что неизбежное очень близкое повторение «начального» состояния случается каждые десять секунд, хотя это могло бы занять час и более. От этой точки отсчета поведение системы будет почти повторять то поведение, что случалось каждые десять секунд назад, то есть возвращаться в начальное положение. После других десяти секунд вновь произойдет близкое повторение и так далее. И в итоге поведение может стать периодическим; это особый шаблон поведений может повторяться снова и снова, как в нашем случае каждые десять секунд. Также возможно, что такой десятисекундный период может сбиться и перейти в другой. Скажем, повторение каждые девять или восемь секунд. В подобном случае система называется почти периодической. Если есть другие компактные системы, в которых происходит сбивание ритма, их можно назвать хаотичными.
В случае с Рисунком 3, мы видели, что если бы поведение не было хаотичным, то небольшая разница между ранними частями третей и второй колонок была бы незначительной, а третья колонка выглядит почти как вторая, в то время как четвертая бы выглядела почти как третья. Однако в действительности мяч ударялся о первую биту в четвертой колонке и промахивался по второй, в то время как совершенно противоположное происходило в третей колонке. Действительно, в четвертая колонка не повторяет третью или что важнее, траектории в данном случае нельзя назвать ни периодическим, ни почти периодическими, а отсюда следует, что поведение мяча хаотично.
Возвращаясь к развевающемуся флагу, мы видим, что вовсе нет необходимости фотографировать его, или совершать иные сложные действия, которые могли бы выявить хаотичное поведение. Если ближайшие повторения действительно случаются каждые десять секунд, а не час или дольше, то можно просто прислушаться к тому как трепещет полотно на ветру, а отсюда уже заметить, есть ли в этих звуках своеобразный ритм или все происходит «случайно». Я полагаю, действительно, что популярная концепция чего-то действующего случайно, это что-то такое, что происходит без шаблона, а точнее с таким шаблоном, который очень сложно обнаружить. Действительно, отсутствие периодичности иногда используется вместо ощутимой зависимости, как определяется хаос. Заметим однако, что если система не компактная, то есть кажется, что близкие повторения никогда не случатся, это еще не говорит о том, что в ней нет периодичности.
Обнуление в хаосе
Хаос, в качестве стандартного термина для непериодического поведения, кажется получил свою жизнь в 1975 году, когда появилась широко известная статья Тьена Йена Ли и Джеймса Йорка из университета Мэриленд под заголовком «Третий период подразумевающий хаос». В маппинге последовательность третьего периода является одним из тех состояние, когда происходит одно и тоже повторение через три шага, а не через один или два; последовательность с другими периодами определяется аналогично. Авторы показали для определенного класса дифференциальных уравнений, что может существовать единственное решение третьего периода, подразумевающее существование бесконечного числа периодичных решений, в которых каждый возможный период – период это 1,2,3,4…. - уже представлен, и также есть бесконечное число непериодических решений. Эта ситуация, в которой виртуально любой тип поведения может развиться, кажется подходящим нетехническим определением хаоса, и из этого следует, что Ли и Йорек вряд ли намеревались представить новый технический термин.
Тем не менее, у них это получилось. В последующие годы термин стал появляться с заметной частотой, а когда в 1987 году он стал ключевым словом в популярной книге Джеймса Глейка, его постоянство было узаконено.
В процессе становление как такового в качестве научного термина «хаос» также пережил несколько разных значений. Ли и Йорк использовали термин, когда ссылались к системам уравнений, которые имеют по меньшей мере несколько непериодических решений, даже когда большинство решений могло быть периодическим. В системах, которые сейчас называют хаотичными, большинство начальных состояний в дальнейшем выражается в непериодическом поведении, и только несколько особых вариантов ведут к периодичности. Я ссылаюсь к данному термину, ккак Ли и Йорк, подразумевая ограниченный хаос, ка также полный хаос, когда есть необходимость различать его.
Вас может сбить с толку, что большинство решений имеют одно поведение, а несколько бесконечное множество поведений. В действительности, подобное происходит довольно часто. Рассмотрим, к примеру, квадрат и одну из его диагоналей. Количество различных точек на диагонали бесконечно, но как можно очевидно предположить, большинство точек внутри квадрата лежит за пределами диагонали.
Допустим, что вы решите использовать квадрат в качестве мишени для дротиков и у вас есть дротик, чье острие бесконечно острое, поэтому существует бесконечное множество различных точек, в которые вы можете попасть. Если ваша цель достаточно мала, чтобы вы промахнулись по квадрату вообще, то ваши шансы попасть в узкий луч, окружающий диагональ очень малы, в то время как шансы попасть в еще более узкий луч еще ниже, а вероятность, что вы поразите точку точно на диагонали меньше, чем любое положительное число, которое вы только можете назвать. Математики могли бы даже сказать, что оно равно нулю. Однако ясно, нулевая возможность – это еще не то, что называется невозможность; вы просто поразите особую точку на диагонали, как и любую особую точку вообще.
В ограниченном хаосе, непериодическое поведение аналогично попаданию в точку на диагонали квадрата; хотя это возможно, вероятность этого стремится к нулю. В полном хаосе, вероятное периодическое поведение равно нулю.
Существует сходный феномен, как в полном, так и в ограниченном хаосе, с которым знакомы почти все, даже если у вас нет технического образования. Это называется нестабильное равновесие. Если вы попробуете хорошо заточенный карандаш поставить на острие, то заметите, что существует некий момент времени, примерно секунда, после того как вы отпустите руки и карандаш упадет на стол. Простые расчеты показывают, что карандаш имеет несколько миллионную долю вероятность стоять вертикально больше двух секунд, а также несколько миллионов миллионных возможности стоять три секунды. И это действительно произойдет, если найдется какой-то отчаянный человек, который посвятит свою жизнь тому, чтобы карандаш стоял на острие. В итоге может быть даже обнаружится, что карандаш сможет стоять и шесть секунд. Конечно, у вас больше шансов на удачу, если кончик карандаша будет немного стерт.
Тем не менее, теория указывает, что карандаш, стоящий строго вертикально, может продолжать это делать вечно; это и есть равновесие. Состояние равновесия остается таковым с ходом времени. Равновесие нестабильно, если состояние слегка отличается от идеального. Вы можете просто побеспокоить карандаш ил еще как-то вмешаться в происходящее. В итоге карандаш упадет. Данное вмешательство, если оно происходит в стабильной системе, вызывает последовательность событий, ведущих к нужному эффекту. Концепция равновесия, стабильности или нестабильности, может быть расширена, включая в себя периодическое поведение.
Вертикально стоящий карандаш – это типичный пример системы с нестабильным равновесием. Причина, по которой на практике карандаш нельзя прочно заставить стоять на неподвижно в том, что рука и глаз во взаимодействии не могут обеспечить идеальную вертикальность. И получается небольшое, возможно в десятые доли градуса, отклонение, что математически ведет к неизбежному падению. Более того, в реальном мире, даже если нестабильное равновесие было точно достигнуто, что-то внешнее может на него повлиять.
Определение нестабильного равновесия имеет много общего с ощутимой зависимостью – оба включают возрастание начальной небольшой разницы. Различие между системами нестабильного равновесия и хаотичной в том, что в хаосе в его будущем развитии будут происходить изменения, все больше и больше отдаляющие его от начального состояния.
Хаотичные системы могут вызывать состояний, которые могут показаться равновесием, но на деле таковым и не являющиеся. В пинболл-машине такое состояние случится, если мяч притормозится битой и станет спокойным. Впрочем, совсем небольшое вмешательство заставит его отскочить влево или вправо.
Может показаться, что в поисках большей и лучшей пинболл-машине я просмотрел лучший пример из всех. Рассматривая объект, двигающийся без трений на горизонтальном плане – эффективная пинболл-машина не должна иметь бит, уклонов и стенок. Объект будет двигаться прямо вперед с постоянной скоростью. Если бы мы должны были увеличить скорость или направление, то его положение было бы далеко от того, которое было бы без вмешательства.
Можем ли мы назвать это хаосом? Несмотря на ощутимую зависимость, существует нерегулярное или кажущееся случайным поведение. Все возможные траектории прямых линий, выражаются простыми математическими формулами. Вместо распознавания формы хаоса с радикально различными свойствами, было бы кажется логичным заключить, что наше оригинальное определение в терминах ощутимой зависимости не выдерживает критики.
Хотя существует большое число процедур для создания более приемлемого определения, одно достижение особенно просто. Объект скользит без трений в примере динамической системы, в которой можно предположить любые начальные значений, но он будет удерживать эти значения вечно; данные свойства в действительности являются константами системы. В настоящем примере, скорость остается постоянной. Если два близких объекта имеют одинаковую скорость – скорость и направление – и различаются только начальными состояниями, описывающими их положение, но не будут двигаться обособленно.
И теперь мы можем усовершенствовать наше определение хаоса. Сначала, с практической целью, давайте сошлемся к любому значению, которое остается в числовом смысле неизменным, когда система работает без нашего вмешательства, но может быть ускорена, если ввести новые начальные состояний, то есть некую виртуальную константу. Для объекта скользящего без трения в горизонтальной плоскости, скорость и направление являются виртуальными константами; в одном случае он скользит без трения внутри чащи, скорость и направление различаются, но общая энергия является виртуальной константой. Затем, допустим у нас есть различия и изменения в начальных состояниях, влияющих как минимум на одну из виртуальных констант, а на другую нет. Можно назвать прежние изменения экстериором, а поздние – интериором.
Теперь мы можем внести новое определение хаотичной системы, как такой, где существующая зависимость интериора меняется в начальных состояниях. Ощущения в экстериоре меняются, но сами по себе они не рождают хаос. Параллельно мы можем захотеть модифицировать нашу идею, рассматривая одиночную динамичную систему. И решим, что если мы увеличиваем значение любой виртуальной константы, то можем заменить нашу систему другой. В случае хаоса, как уже было переопределено, будет эквивалентное ощутимое изменение в определении, сделанное в рамка одной и той же системы. Для систем без виртуальных констант, таких как очень длинных пинболл-машин, все изменения обязательно носят внутренний характер, а модифицированное определение является тем же самым, как и в предыдущем случае. Для множества других систем, включая различные объекты, которые двигаются без трения, модифицированное определение - ощутимые внутренние изменений – приведут к еще более приемлемым заключениям.
И возникает вопрос, достаточен ли проблеск феномена для того, чтобы возбудить большой интерес и стать темой развитой научной теории. Возможно не так много людей волнует, что развевающийся флаг – это хаотичная или систематическая вещь. Хаос в пинболл-автомате важен для любого, кто серьезно настроен выиграть. Хаос в работе сердца, когда это происходит, касается каждого из нас.