(В главное меню)

Глава 2

Путешествие в Хаос

Хаос в действии

Пинболл-машина одна из тех редких динамических систем, чья хаотичная природа может быть вычислена чисто качественными способами, с лишь небольшой вероятностью, что мы бы в этом не заблудились. Тем не менее, углы в траекториях мячей, как от бит, так и от возвратных ударов – как показано на Рисунке 1 – создают такую систему, которую достаточно сложно изучить детально. Для ежедневно повторяемой системы, которая будет различаться более гладко, и может более легко служить иллюстрацией для многих основных свойств хаотичного поведения, даже не смотря на то, что не будет точных описаний, мы можем рассматривать некую систему, сходную с пинбол-машиной. Новая система будет снова установлена под уклон, с мячиком или другим объектом, катящимся или скользящим вниз, но здесь не будет бит или других препятствий, которые могли бы помешать гладкому перемещению, а сам уклон может быть любого размера.

Мы вряд ли можем ожидать возникновения хаоса, если наш уклон – это просто плоскость, если только наш объект не эллиптический бильярдный из Микадо, поэтому давайте рассматривать уклон как систему гладких закругленных бугорков.  Они могут быть похожи на биты в пинбол-машине – возможно в той, что представлена на Рисунке 1 – но они не будут давать тот же эффект; даже несмотря на то, что объект достигает бугорка под наклоном, его траектория может быть иной, чем та, что получается от столкновения с битой, то есть объект, движущийся гладко вперед, может просто проехать по вершине бугорка, вместо того чтобы отскочить. Мы хотели изучить систему, чье поведение хаотично, так вот – это она и есть.

В этом месте можно заняться опытами. К примеру, мы можем совершить экскурсию по стране и найти склон с гладкими бугорками, но без каких-либо препятствий, как деревья или камни, которые могли бы сыграть роль бит в машине. Затем мы можем бросить вниз футбольный мяч и понаблюдать его движение, но при этом нерегулярность его движения еще не может указывать на определенную зависимость, поскольку есть бугорки, а следовательно отклонения, которые они провоцируют, могут не иметь регулярной природы. Вместо того, чтобы искать хаос по отсутствию ритма мы бы должны были рассмотреть определенную зависимость как таковую.  Чтобы это сделать,  мы бы могли запустить еще несколько мячей из той же точки, чтобы посмотреть, будут ли их траектории разными, в надежде, что чистоте наблюдений не помешает случайный порыв ветра. Мы могли бы виртуально удалить проблему ветра, используя мячи для боулинга, но при этом должны были бы спустить их сразу несколько.

Учитывая, что природные условия слишком не стабильны, логично предположить, что следует вернуться в лабораторию и построить собственный уклон с бугорками, расположив последние в самых неожиданных местах. В качестве уклона можно использовать обычный стол и мраморный шарик. Подобно футбольному мячу мрамор также будет отклоняться при встрече с бугорками, но теперь ничто внешнее не будет мешать ему совершать периодическое движение. Если при этом будет создаваться нерегулярная траектория, то можно обоснованно предположить наличие хаоса. И снова для этого нам нужно сравнить несколько траекторий шарика.

Если в нашем здравом смысле преобладает математический уклон, то может появиться желание перейти от лаборатории к компьютеру. Вместо физической постройки уклона можно выбрать математическую формулу для определения топографии местности. Вместо наблюдения движения объекта вниз, можно решить уравнения, описывающие поведение мячика во всех вариантах.  Допустим, нас заинтересовало, что может случиться, если наш уклон напоминает один из тех, что представлен на Рисунке 3, который показывает вид обрезанных секций. Бугорки могут напоминать те холмы, что образуются при активном использовании снежного склона для экстремального катания. И хотя компьютерная программа способна создать склоны любого размера с легкостью, я выбрал измерения, которые наиболее типичны для реального снежного склона. Можете сравнить холмы на Рисунке 5, где присутствуют бугры с теми, что имеются на лыжных курортах Колорадо. Может показаться, что бугры расположены с определенной симметрией, но это не совсем так, поскольку простой формулой их не выразить.

Поскольку наш объект будет скорее двигаться вниз, а не прыгать, то уравнения сводятся к дифференциальным. Они будут выражать, математическими символами, один законом движения Исаака Ньютона, который отражает ускорение любой частицы вещества – отношение, в котором скорость меняется – к сумме сил, действующих на частицу, разделенное на массу частицы. Сложный объект может состоять из различных частиц. Уравнения представлены в математическом разделе Приложения 2.

Рисунок 4. Вид части модели лыжного склона.

Мячик, или любой другой крутящийся объект движущийся вниз по склону должен иметь определенный момент кручения, а чтобы не запутывать математические расчеты, я предположил, что наш объект будет просто скользить. Это может быть просто конфета, которая выпала из кармана лыжника, и я просто назову это доской. Ее движение будет контролироваться действием трех сил. Одна из них – гравитация, направленная вертикально вниз. Другая – сопротивление трения, направленная против направления движения. И третья, это сила склона, которая действует на доску, направленная прямо в правый угол по отношения к склону, а противоположный эффект гравитации просто нужен для того, чтобы доска скользила, а не прыгала на склонах.

Лабораторные модели требуемых реальных физических систем, даже не смотря на то, что точного подобия добиться невозможно, создать практически невозможно, поскольку очень редко математические модели могут точно воспроизвести реальные условия. Реальные доски могут быть гибкими, а их ориентация в пространстве очень различаться, но в нашей модели мы просто устраняем эти возможности и рассматриваем доску так, как если бы она была одно единственной частицей. Будет очень удобным упростить закон трения, позволяя сопротивлению быть прямо пропорциональным скорости доски – удваивая скорость с удвоением сопротивления. Тем не менее состояние, если известен момент затухания, определяется отношением скорости к состоянию, в котором трение понижает скорость, что удобно определить, если время затухания будет постоянно. Противоположно этому коэффициент трения тоже будет постоянен. Все это упростит систему дифференциальных уравнений, решение покажет, как будет двигаться доска.

Наша модель могла бы быть более реалистична, если бы сопротивление трения было бы сделано различным, поскольку различается сила, с которой склон действует на доску, так как когда доска почти отрывается от земли, эффект трения будет сильно снижен. Сопротивление ветра тоже можно смоделировать, но этого лучше не делать, поскольку подобное сильно снижает качество наблюдений.

Существуют различные правила для лабораторных и компьютерных наблюдений. Мы привыкли ассоциировать лабораторные эксперименты с большой точностью, но в некоторых случаях можно опустить ряд параметров и все же получить точный ответ. В компьютерном эксперименте нет возможности начать эксперимент, пока каждой переменной не будет присвоено конкретное значение.

Наша модель содержит большое количество констант. Отсюда, мы имеем дело с большим числом динамических систем, поскольку, как мы уже заметили, с повышением значения какой-то константы, мы получаем новую систему, возможно с новыми свойствами поведения – словно наблюдаем, как смазывается старая машина, а следовательно понижается коэффициент трения, что может стимулировать всю систему. Формальные системы, в которых можно исключить одну или более констант можно назвать членами семейства динамических систем. Часто мы ссылаемся к целому семейству как к простой динамической системе, когда это можно сделать, не сбивая никого с толку.

Мы должны предвидеть возможность, что существуют четко определенные комбинации, поскольку если это не так, и они могут быть любыми – средний уклон склона, высота и частота размещения холмов, коэффициент трения – это приведет к хаосу. Также существенной константой является гравитация, но ее величина уже определена для нас, по мере того как мы проводили эксперимент со скатывающимися шарами в пинболе. В противоположность модели пинбола, где хаос виртуально существует, не существует правила для определения заранее наших вычислений, в новой модели, где сочетание значений констант будет работать.

Рисунок 8. Холмы на лыжном склоне в реальности.

Мы должны будем обнаруживать их методом проб и ошибок, возможно получи нужные значений уже с первой попытка, а возможно совершив множество попыток, не найдя их вовсе и заключив, возможно не правильно, что модель никогда не сможет создать хаос.

Поскольку я представил лыжный склон, как иллюстрацию фундаментальных свойств хаоса, я должен выбрать значения из успешной попытки. Для удобства, допустим, что склон обращен на юг. Его среднее вертикальное падение будет 1 метр на каждые 4 метра в южном направлении. Представим себе огромную шахматную доску, нарисованную на склоне,  с квадратами 2 на 5 метров, и допустим, что центры холмов расположены в центрах темных клеток, как показано на Рисунке 6, где также показана возможная траектория движения доски вниз по склону. Допустим, время затухания будет 2 секунды. Как детально показано в Приложении 2, формула для описания топографии склона будет предусматривать ямы в светлых квадратах доски, так если бы снег был изъят из них для постройки холмов.  Допустим каждый холм возвышается на 1 метр над ямой прямо к западу и востоку.  Подобно пинболл-машине, лыжный склон должен быть бесконечно длинным, чтобы показать отличный пример хаоса.

Рисунок 6 (слева длина склона, внизу пересечения склона). Вид сверху части модели лыжного склона, с траекторией одной доски, скользящей по нему.  Затененные прямоугольные поля склона показывают возвышенности, а незатененные – низменности.

Мы будем так часто ссылаться на эти четыре возможности модели, что я должен как-то их назвать. Они могут называться просто одной буквой, причем эта буква может быть математическим символом дифференциальных уравнений или символом компьютерной программы, чтобы можно было их решить. Допустим южное и восточное расстояние доски, пройденного от некоторой определенной точки, скажем от центра отдельной ямы, будет называться X и Y,  и допустим, южное и восточное значение скорости – которая в этих точках постоянно возрастает – мы назовём U и V. Нужно отметить, что когда мы рассматриваем склон точно с западной стороны и, как почти точно показано на Рисунке 4,  или как мы показали на Рисунке 6, просто повернув прежний рисунок на четверть против часовой стрелки, X и Y становятся точными прямоугольными координатами. В качестве альтернативы, но с некоторой потерей математического удобства, мы  могли бы выбрать расстояние доски и направление из определенной точки, а также скорость и направление движения, как четыре переменные.

То, что я назвал центрами холмов или ям в действительности точки, где склон повышается и понижается относительно своего основного плана. Это центры квадратов шахматной доски. Действительная высота темных квадратов около 1,5 метра на север от центра холма, в то время как нижняя точка светлого квадрата подобна расстоянии на юг от центра ямы, и я должен назвать эти точки высшими и нижними точками. Их можно обнаружить на переднем край части холма на Рисунке 4.

Чтобы начать вычисление, мы должны дать компьютеры четыре числа, которые описывают числовые значения переменных X и Y, скажем в метрах, и U и V, скажем в метрах в секунду. В своей работе компьютер будет представлять нас набором большого числа цифр, которые укажут значение тех же самых переменных в любое время в будущем. Как и в нашем первом примере, давайте X, Y. U и V будут равны 0.0, -0.5, 4.0 и 2.0, допустив, что доска начинает движение в полуметре на запад от центра ямы, и направляется приблизительно в юго-юго-восточном направлении. Затем она будет следовать по простой траектории, показанной на Рисунке 6.

Рисунок 7. Траектории семи досок, начавших движение с равной скорость. Из точек, расположенных в 10 сантиметра друг от друга по западно-восточной линии. Эти небольшие метки, похожие на бриллианты, показывают центры холмов.

Чтобы увидеть, будет ли доска вести себя хаотично, давайте перейдем к Рисунку 7, где показаны траектории семи досок, включая ту, что имеется на Рисунке 6, как они вели себя, когда ехали 30 метров на юг. Все они начинают свой путь с одной линии с одинаковой скоростью, но их точки старта отличаются на 10 сантиметров, от 0.8 до 0.2  метра на запад. Очевидно прослеживается тенденция огибать холмы. Вскоре траектории пересекаются, но не становятся одинаковыми, поскольку теперь доски двигаются в различных направлениях, и вскоре их пути становятся еще более разреженными, чем в начале. В 10 метрах от стартовой линии, начальные 0,6 метра увеличиваются более чем вдвое, а 25 метров спустя, увеличение происходит уже вдесятеро. Ясно, что траектории зависят от стартовых точек, а движение получается хаотичным.

Как мы уже заметили, существенное свойство хаотичного поведения состоит в том, что в итоге возникает расхождение, неважно насколько мала была первоначальная разница. На Рисунке 8, мы позволили семи доскам пройти 60 метров вниз по склону, начав из точек, расположенных только в миллиметре друг от друга, от 0.503 до 0.497 метров на западе. Вначале расхождение не так явственно видно на картинке, но спустя 30 метров, оно уже легко обнаруживается, а затем уверенно растет, как на Рисунке 7. Лыжный склон прошел еще один критический тест. Начальное разделение может быть таким маленьким, как пожелаете, главное, чтобы склон был достаточно длинным.

Если кому-то подобные траектории напомнили лыжные треки, я хочу добавить, что доски следуют таким маршрутам, которые опытные лыжники бы никогда не выбрали. Они разве что могут быть полезны для тех, кто желает упасть и просто долго скользить.

Рисунок 8ю. Траектории семи досок, которые начинаются с равной скоростью и в точках, лежащих друг от друга всего в 1 миллиметре.

Читатель, который предпочитает смотреть на вещи так, как если бы они происходили в реальном мире, не должен озадачиваться вопросом размещения сноуборда всего в 1 мм от других, поскольку это привело бы к падению лыжника.  Мы рассматриваем всего лишь математическую модель , которая, как и большинство моделей, игнорирует некоторые вещи. В этом случае мы не обращаем внимания на размер скользящего объекта, который, само собой, очень даже нереалистичный, и его скольжение может обеспечиваться только тогда, когда он размером не более булавочной головки, и склон мы рассматриваем такой гладкий, чтобы булавочная головка могла свободно скользить.  Конечно, можно написать компьютерную программу, которая описывает поведение скользящих объектов различных размеров и форм, но которая должна была быть основана на более сложном математическом анализе.

В качестве альтернативного мнения обнаружения хаоса – при непосредственном наблюдении исчезновения периодичности – обратимся к Рисунку 9, который продлевает наш склон до 600 метров вниз. Доска показывает заметную тенденцию раскачиваться вдоль линий, которые проходят на юго-восток или юго-запад между холмами, но переключение из одного направления в другое не дает регулярных интервалов. Давайте подумаем, что можно заключить из этого поведения.

Рисунок 9. Траектория одной доски, спускающейся на 600 метров вниз по модели склона. Заметим, что шкала север-юг сжата, как если бы мы смотрели на склон снизу.

Для начала мы можем заинтересоваться периодичностью или ее отсутствием с увеличением времени, но на Рисунке 9 показано только то, что происходит на спуске, то есть, при увеличении переменной Х. Мы должны заметить также, что поскольку доска всегда двигается вниз по склону и ее скорость не слишком различается, расстояние может служить примерным измерением времени. На каждые 3,5 метра приходится около 1 секунды. Измерение времени подобным способом,  это сродни тому, как если бы часы шли то быстрее, то медленнее, но всегда двигались вперед.

Если целая система периодически изменяется в течении времени, скорость часов, как неотъемлемая часть системы, должна была бы изменяться периодически с одинаковым периодом, а вариации системы, как измеряемые этими часами, были бы также периодическими. Однако отсутствие периодического изменения с увеличением расстояния вниз по склону, указывает на отсутствие периодичности в реальном времени.

Затем, подобно пинболл-машине, склон с доской движущейся вниз, не является компактной системой, поскольку переменная Х должна увеличиваться без ограничений, а Y вести себя подобным образом. Простое изменение переменных, однако, создать условия для возникновения математической компактности. Заметим, что возможно изменение переменных осязаемой системы без увеличения системы как таковой. Мы бы могли сделать это, например, если бы решили выразить ускорение как скорость и направление, вместо того, чтобы говорить просто об южном и восточном направлении.

В настоящем случае мы сперва разделили склон на прямоугольники 4 на 5 метров. Каждый прямоугольник содержит светлый квадрат шахматной доски и продолжается темными квадратами на восток и запад, так что центр ямы лежит в центре каждого прямоугольника, а центры холмов в средней точке западной и восточной сторон. Затем, используя терминологию понижения, а не повышения, мы допустили, что новые переменные х и у, это южное и восточное расстояние доски от центра прямоугольника, который она занимает. Большую часть времени х будет продолжительно увеличиваться, как делает Х, но х прыгнет от 2,5 обратно к – 2,5 независимо от того, войдет ли доска в следующий прямоугольник, расположенный ниже по склону,  в тот же момент, время будет резко увеличиваться или уменьшаться на каждые 2 метра ,в соответствии с тем, как доска будет оставлять предыдущий прямоугольник ближе к юго-западному или юго-восточному углу. Также значение у прыгнет от 2,0 до – 2,0 или от -2,0 до 2,0, когда доска пересекает одну сторону прямоугольника или другу, но U и V останутся в своих первоначальных значениях, как части ускорения. Поскольку склон имеет одну и ту же форму в каждом прямоугольнике, значения х, у, U и Y в любое будущее время могут определяться настоящими значениями, без знания значений X и Y, то есть без знания того, какая яма ближе к доске. Поскольку,  подобно U и V, х и у различаются в очень ограниченном диапазоне, новую систему можно назвать компактной.

Следовательно, мы можем определить компактную математическую систему, в которой U и V могут различаться в точности, как они делали на Рисунке 9. На этом рисунке, положительные и отрицательные значения V показаны, как юго-восточное и юго-западное направления. Поскольку они не проявляются в какой-либо регулярной последовательности, по крайней мере переменная V, она не является изменяющейся периодически, и мы можем заключить вполне обоснованно, даже без ссылок на Рисунки 7 и 8, что поведение доски хаотично.  Единственная альтернатива этому период, который превышает 600 метров по Х, или примерно 3 минуты – слишком большое время, чтобы показать это на рисунке.

Путь вниз по склона на Рисунке 9 действительно представлен как график переменной Y к X, с поворотом на четверть, а это дает вполне обычный график. На нем доска, движущаяся вниз, является своеобразным построителем графика. Многие фундаментальные концепции в теории динамических систем, могут быть представлены графическим способом, но эти графики не всегда строятся на основании значений единственной переменной, противопоставленной значениям другой. Часто нам нужно использовать одновременно несколько значений нескольких переменных, и мы можем в этом случае пожелать разве что графиков, выходящих за пределы двух измерений. Или даже очень много измерений, удовлетворяющих всем переменным в нашей системе. Если число это слишком велико, будет практически невозможно создать желаемый график, но если уменьшить их число, то использование двух или трех измерений может иногда хватить.

В случае с нашими динамическими системами, лыжный склон достаточно прост, он имеет только четыре переменные, в сравнении с более сложной моделью развевающегося на ветру флага. Тем не менее, большинство людей не сможет обнаружить кривую или другой вид графика в четырехмерном пространстве, а также это визуализировать.

Например, если рассмотреть длину шнура, возможно это будет веревка для сушки белья с узлом на ней,  а концы ее прикреплены к противоположным стенам комнаты. В трехмерном мире, где мы живем, мы не можем развязать узел, пока не отсоединим один из концов от стены или не разрезав его. Те, кто знаком с этой теорией, говорят, что в четырехмерном пространстве  похожий узел спокойно можно развязать без открепления шнура от стены; или вообще там не будет никакого узла. Это открытие не кажется таким уж глупым, но визуально я лично не могу это подтвердить.

Было бы удобно работать с системой, меньшей чем в четырех измерениях. Мы можем создать такую систему, изучив нашу модель с лыжным склоном.

Физическая и математическая комплексность – это не одно и тоже. Тут можно заменить одну систему другой, физически более подходящей, но проще с математической точки зрения. В нашей новой модели мы должны будем сохранить оригинальный лыжный склон, в то же время заменив доску на санки. Санки обычно оборудуются тормозами, но у них нет системы управления. То есть водитель должен применять тормоза, чтобы обеспечивать нужную скорость спуска вниз по склону, то есть константу U, в то же время как скорость движения по склону поперек, V, может быть различной. Если холмы будут слишком большими, санки станут замедлять свой ход, когда на них взбираются, даже если тормоза будут полностью отпущены, поэтому в этом случае санки должны также экипироваться мотором, а водитель должен использовать ускоритель, когда требуется взобраться на холм.

Водитель, который не слишком желает потерять контроль над направлением движения санками, вряд ли обрадуется известию, что его движение может быть хаотичным. Ему, вероятно, потребуется некоторая практика, прежде чем он сможет удерживать скорость в южном направлении одинаковой. Он может также экипироваться рядом специальных электронных устройств, которые могут наблюдать за склоном, что происходит впереди и включать автоматически тормоза или ускорение. Конечно, четкая работа санок потребует больше усилий, чем простая доска. Разрабатывая лабораторную модель санок, нужно включить сходные комплексные данные, обеспечивающиеся электроникой. В противоположность этому, компьютерная программа для новой системы будет проще, чем оригинальная программа, но большого преимущества не будет в сохранении компьютерного времени, а скорее в факте, что существует одна оригинальная переменная. U – это скорость движения в южном направлении, становится константой, и все еще называется U,  так что новая система имеет только три измерения.  Здесь можно выбрать буквы X, Y и V, или вместо этого х, у, и V. Более того, X – это расстояние движения вниз по склону, теперь увеличивается с течением времени, а часты, которые мы использовали ранее, что то бежали, то тормозили, теперь работают идеально.

Рисунок 10. Траектории семи санок, начавших спуск с одной скоростью и точек, расположенных на расстоянии 10 см друг от друга вдоль западно-восточной линии.

Как и в случае с оригинальной системой, мы можем ожидать, что не все комбинации переменных и констант могут привести к хаосу. Хотя наши константы не включают U, скорость движения вниз по склону, они больше не включают коэффициент трения, чье значение контролировал водитель, когда тормозил, и следовательно, математически определяются только переменные X, Y и V. Использование ускорителя будет проявляться в программе, как устранение трения.

Для нашего примеры мы должны принять значение U, как 3,5 метра в секунду – значение близкое к среднему значению U в оригинальном примере – в то же время остальные постоянные будут иметь прежние значения. Рисунок 10 показывает, что случится, когда семь санок с расстоянием в 10 см между ними, спустятся вниз, начиная с равных скоростей. Хотя есть некоторые отличия от Рисунка 7, в итоге результат тот же – система хаотична.

Сердце хаоса

С научной точки зрения «хаос» часто ассоциируется с проявлением неких «странных аттракторов». Давайте посмотрим, что значит аттрактор и что в нем, собственно, странного.

Если мы посмотрим на некий реально существующий феномен, привлекший наше внимание, то наверняка не увидим поведение, которое просто не может произойти. К примеру, маятник в часах в своем нормальном режиме работы не будет раскачиваться то быстрее, то медленнее. Флаг во время устойчивого бриза не будет то колыхаться, то обвисать неподвижно, неважно как долго мы наблюдаем. В Гонолулу не могут быть температуры ниже точки замерзания или влажность около 15 процентов. Состояние любой системы, где происходит одно и то же повторение снова и снова или очень близкое повторение, будет иметь одинаковый порядок действий. Этот порядок называется аттракторами.

Когда мы проводим числовой эксперимент с математической моделью, возникает та же ситуация. Мы вольны выбрать любое значимое число как начальное значение переменных, но после определенных цифр или комбинаций числа могут больше не появиться. Для санок на склоне значение U, скорости спуска по склону, зафиксированное как 3,5 метра в секунду, мы выбрали начальное значение V, поперечная скорость, а также некоторые значения х и у строго определенные. Вычисления показывают, что V скоро также примет некое жесткое значение, оставшись между -5.0 и +5.0 метров в секунду.

Более того, даже значения V, которые продолжают появляться, не будут работать с точными значениями других переменных. Санки будут скользить почти прямо над холмом, а также часто двигаться  почти прям от северо-запада или северо-востока, но когда бы ни они не пересекли холм, они будут двигаться только почти с севера. С компьютерной точки зрения это значит, что если х близко к 0.0, а у близко к -2.0 или +2.0, V будет близко к 0.0. И снова состояния, которые заставляют событие осуществляться, после исчезновения любых временных эффектов, которые могут быть представлены по выбору начальных состояний, сформируют набор аттракторов.

Интерес к аттракторам, который сопровождает и возможно стимулирует интерес к хаосу, частично обязан возникновению неких вещей, называемых – странными аттракторами. Может ли набор аттракторов, которые являются просто набором состояний, иметь некий одинокий странный аттрактор, в частности как если бы некоторые значения неожиданно менялись, вроде температуры или давления? И это действительно возможно, если под любым аттрактором мы понимаем графическое представление аттрактора.

Как мы видели ранее, иногда нам просто необходимо нарисовать графики или диаграммы, используя столько пространственных измерений, сколько у нас использовано переменных в системе. Часто подобная задача просто невозможна, но даже сама концепция подобных диаграмм может быть полезна. Гипотетическое многомерное пространство, в котором можно нарисовать подобную диаграмму, называется фазовым пространством.

В фазовом пространстве каждая точка представляет отдельное состояние динамической системы. Координаты точки – это расстояния в обоюдноперпендикулярных направления для некоторой точки, называемой – исходная – в числовом выражении равная значениям, которые принимают переменные в тот момент, когда состояние случается. Частичное решение системы уравнений – которые являются набором состояний последующих или предшествующих частичному начальному состояния – представляет собой кривую, часто называемую орбитой, как если бы система была плавающей. Все это представлено цепочкой точек, также называемой орбитой, как если бы система являлась маппингом. Аттрактор может быть представлен простой или комплексной геометрической структурой.

В умах многих исследователей аттрактора и яркая презентация в фазовом пространстве одно и то же. В их терминологии точка означает состояние, а орбита означает хронологическую последовательность состояний., так что набор аттракторов может быть набором точек. Когда этот набор состоит из одиночной агломерации, это также является аттрактором. Когда это состоит из нескольких несвязанных кусочков, и когда нет орбит, пересекающих друг друга, каждый такой кусочек является отдельным аттрактором.

Иногда аттрактор может быть отдельной точкой. Маятник в часах, если их не заводить, рано или поздно остановится, просто повиснув вертикально, в том виде, в каком он был приведен в движение. Поскольку состояние маятника, перед тем как успокоиться, может быть описанной при помощи двух переменных, фазовое пространство маятника должно быть двухмерным; то есть по сути это плоскость. На этой плоскости мы можем выбрать горизонтальное расстояние точки от источника равное смещению конца маятника от нижней точки качания. Вертикальное расстояние от начальной точки не будет представлено вертикальным расстоянием конца маятника от любой точки; вместо этого мы можем выбрать это значение, имея то же числовое значение как скорость конца маятника – положительную, когда маятник движется вправо и отрицательную, когда двигается влево. Аттрактор незаведенных часов будет тогда одиночной точкой на плоскости – началом – представляя состояние покоя.

Аттрактор маятника в часах, которые всегда заведены, будет близко к кривой, представляя собой эллипс. Действительно, если измерение скорости конца маятника можно выразить в приемлемых единицах, возможно в милях в час или сантиметрах в секунду, тогда будет  получаться круг, с центром в начальной точке. Независимо от того, насколько сильно мы качнем маятник в начале его движения, рано или поздно он перейдет к своему нормальному поведению, а затем его движение вправо можно будет выразить, как точку движущуюся вправо вдоль верхней или положительной половины круга,  пересекая верхнюю точку, когда конец маятника примет самую высокую скорость. По мере того как маятник качается обратно влево, точка  будет двигаться обратно вдоль нижней части или отрицательной половины круга, после которой продолжится нормальное колебание.

Поскольку в этой и многих других системах экстремально большие значения переменных не могут быть, за исключением скоротечных состояний, точки в наборах аттракторов не могут слишком далеко сдвигаться от исходных значений. Это значит, что они будут оккупировать скорее ограниченный центральный регион. Они действительно будут формировать сердце динамической системы.

Для санок на склоне проще использовать x, y и V в качестве координат в трехмерном фазовом пространстве. Центральная область, содержащая аттрактор, будет тогда похожа на прямоугольную коробку – коробку, внутри которой x принимает значения только от -2.5 до +2.5, а у только от -2.0 до +2.0, поскольку по определения х и у ограничены этими диапазонами, тогда как V принимает значения только от -5.0 до +5.0, поскольку скорость не может быть выше, за исключением временных моментов.

Существует большое количество умных компьютерных программ для получения картинок трехмерных объектов, хотя некоторые из них могут работать не очень хорошо, когда объект представляет собой комплексный аттрактор. Для нашей системы давайте адаптируем простую процедуру визуализации поперечных секций коробки. Простейшие из этих секций – это прямоугольники, параллельные той или другой стороне. Математически очень просто работать с прямоугольниками, у которых х является константой, и у которых переменная V построена против y. Горизонтальное и вертикальное расстояния от центральной точки прямоугольника могут тогда быть равными значениями восточного расстояния и восточной скорости, соответственно, как это происходит в фазовом пространстве маятника, когда часы повернуты циферблатом на юг. Мы можем нарисовать картинку поперечной секции аттрактора по определению и отметить выбранный прямоугольник, расположение большого числа точек, которые лежать не только на прямоугольнике, но и на аттракторе. При взгляде на несколько параллельных пересекающихся секций аттрактора нам может прийти в голову отличная мысль об их трехмерной структуре.

Чтобы определить желаемые точки мы должны начать с того, чтобы взять большое число точек на одном прямоугольнике. Каждая точка будет представлять начальное состояние санок. Допустим, мы выбрали прямоугольник, в котором х равно 2.5, так что санки все начинают свою путь по линии запад-восток, проходящей в середине ямы и холма прямо на юг. Верхняя левая панель на Рисунке 11, которая, не как предыдущий рисунок, показывает фазовое пространства вместо чего-то материального, содержит пять тысяч точек, выбранных случайным образом.  Допустим, эти точки были отобраны из всех точек прямоугольника, представляющих начальные состояния санок, начинающих свой путь с какой-то скоростью при движении на восток между -5.0 и +5.0 метров в секунду, из любой точки на стартовой линии. Шаблоны не имеют узнаваемой формы; это настоящий хаос в нетехническом смысле слова. Затем мы позволим всем санкам спуститься на 5 метров, так что теперь х будет снова равно 2.5. В нижней левой панели мы построили пять тысяч точек, представляющих новообразованные поперечные положения и скорости. Мы нашли, что точки собрались в нечто более или мене напоминающее эллипс с двумя тонкими рукавами, выходящими из них. Существуют большие пустые пространства, представляющие состояния, которые не могут случиться иначе, как единовременно и моментально. Точки с левого и правого краев представляют собой узкие лучи почти в средних точках этих краев, где V близко к нулю; это означает, что санки, представленные этими точками, двигались почти точно на север. Заметим, что горизонтальная линия, пересекающая панель посередине между верхним и нижним краем имеет два продолжения вообще без точек.

Рисунок 11. В верхнем левом углу находится панель, где толчки выбраны случайным образом, представляя собой поперечные положения и скорость пяти тысяч санок, расположенных вдоль  западно-восточной линии. Нижний левый угол и затем верхний правый, а также нижний правый представляют панели, где показано положение и скорость тех же санок после того, как они проделали путь на 5, 10 и 15 метров вниз по склону соответственно.

Панели справа показывают, что происходит, когда санки спустились на 10, а затем 15 метров от стартовой линии. Точки становятся все больше похожими на аттракторы, привязанными к определенным областям, которые все более и более удлиняются, и растворяются; так, словно кто-то длительное время закручивал центральную часть по часовой стрелке, подобно тому, как это делается в игрушке, заводимой ключом, в то время как левая и правая наши конечности мы держим четко в одном положении. Каждый новый набор точек изнутри имеет сходство с предыдущим.  В 10 метровой линии посередине между верхним и нижним краем панели имеется четыре пустых полоски; на линии 15 метров их уже восемь.

Набор этих точек в итоге становится аттрактором, а если бы мы продолжили движение, то получилась бы пересеченная область аттрактора. Мы можем более или менее увидеть, как это происходит при рассмотрении панелей на Рисунке 11. Скопище точек будет становиться бесконечно продолжительным, очень тонким и иметь бесконечное число пустых линий, а между любыми двумя пустыми линиями будут точки, вновь разделенные пустыми линиями.

Есть способ проще определить скопление точек на пересекающейся области аттрактора, если взять одиночную начальную точку и построить длительную хронологическую последовательность, часто опустив несколько первых точек, которые могут представлять моментальные состояния. На Рисунке 12 мы видим построение из десяти тысяч последовательных значений восточной скорости V противопоставленной восточному расстоянию у, происходящему с 5-метровым интервалом на южном направлении X, все с переменными х, южным расстоянием от ближайшей ямы, равное 2,5. Принимая во внимание преимущество симметрии аттрактора – сравните с Рисунком 11 – я добавил еще десять тысяч точек, также построив V против y. При этом неважно, что лыжный склон стал 50 км длинной, как вытекает из расчетов, что намного выше чем даже Эверест, а также то, что на некоторых высотах более скользкий снег, чем на других; как обычно мы работаем с математической моделью. Рисунок пересекающегося аттрактора – это один из тех, что был показан на панелях Рисунка 11. Ясно, что в результате должны появиться множество почти параллельных кривых. Более жирные кривые представляют самые частые состояния, в то же время прерывистые цепочки точек представляют менее вероятные события.

Рисунок 12. Пересекающаяся область аттрактора модели санок.

Подобно Рисунку 11, на Рисунке 12 не просто рисунок чего-то движущегося по склону, а полноценный график. Даже несмотря на то, что горизонтальное расстояние на графике представляет дистанцию через склон, вертикальное расстояние имеет дело со смещением вверх или вниз. Альтернативное представление аттрактора также имеет право на существование.

Поскольку точки в правой верхней области рисунка представляют те же состояния как и точки с левого края – они представляют санки прямо двигающиеся по южному холму – будет логично соединить их, что мы могли бы сделать, если бы обернули рисунок вокруг цилиндра, подобно тому, как оборачивает этикетка банку консервов. В качестве альтернативы мы могли бы взять бумагу на которой нарисован рисунок и свернуть ее в трубку, так чтобы рисунок оказался внутри, а затем посмотрели внутрь. То, что бы мы там увидели более или менее походило бы на Рисунок 13 – еще одна картинка с теми же параметрами аттрактора. Новая форма будет более простой в некоторых случаях, а в других сложнее.

Рисунок 13. Поперечная область Рисунка 12, вид в альтернативной системе координат. Внутренний и внешний окружности соответствуют верхней и нижней границе на Рисунке 12. Линия, проходящая наружу от внутренней к внешней окружности не показана, но она должна соответствовать обеим сторонам границ.

Система, чей аттрактор мы наблюдали, это потоковая система с трехмерным фазовым пространством; санки скользят длительное время по своим траекториям, которые определяются решением системы дифференциальных уравнений. Когда мы наблюдаем санки только с 5-метровым интервалом при движении вниз по склону, как мы делали на Рисунке 11, мы делаем это не только во особое время, а также как и в случае с пинболом, когда он ударяется о биту, мы замещаем поток маппингом получаемым из потока. Маппинг имеет двухмерное пространство, а значения у и V в определенные моменты времени полностью определяют значения в следующие моменты. Мы не можем описать систему дифференциальных уравнения, которые выражают полные переменные y и V, но мы и не должны этого делать, поскольку уже получили числовое решение после вычисления дифференциальных уравнений.

Из этого следует, что при рассмотрении особой поперечной области аттрактора, которая показана на Рисунках 12 и 13, мы также получаем полный аттрактор – аттрактор маппинга. Процесс перехода потока в маппинг с небольшим количеством пространственных измерений был разработан и представлен впервые французским математиком Анри Пуанкаре, как часть его работы по проблемам небесной механики. Поперечные области, к которым мы ссылались как к плоскостям области, в настоящее время называются областями Пуанкаре, а переход в маппинг назван маппингом Пуанкаре.

Для того чтобы рассмотреть аттрактор в трехмерном пространстве мы обратимся к Рисунку 14, где показано девять пересекающихся областей, с переменной х в диапазоне от -2.5 до +2.5, с интервалом в пять восьмых метра. Мы можем легко проследить большое количество опций, как они плавают вниз от секции к секции; кривая, соединяющая  сходные опции будет представляет траектории движения санок. Полный аттрактор будет представлен как группа почти параллельных поверхностей, более или менее вертикально ориентированных; они появятся как почти параллельные кривые на каждой поперечной области. Продолжительное растяжение, сжатие и скручивание верхних паттернов является логическим продолжением нижних. Нижняя часть поперечной области очевидно является той же самой, только левая и правая половины взаимно поменялись местами. Это также показано на Рисунке 12.

Рисунок 14. Трехмерная перспектива вида аттрактора модели санок, как картинка из девяти параллельных поперечных областей. Нижняя область появлялась ранее на рисунках 12 и 13.

Аттрактор, который состоит из бесконечного числа кривых, поверхностей или многомерных многообразий – генерализованных поверхностей многомерного пространства – часто случается в параллельных наборах, с промежутком между любыми двумя членами набора, и называется он странным аттрактором. Это название было введено в обиход в начале семидесятых Дэвидом Руэлле и Флорис Тэйкенс в газете, в которой они представили пример турбулентности, как показатель того, что сейчас называется хаосом. В те времена было несколько возражений против этого термина, а русские математики Борис Чириков и Феликс Израилев даже утверждали, что странный аттрактор кажется странным только странным людям. Они считали, что эти бесконечные комплексы многообразий являются всего лишь точно возможным развитием событий, который можно предсказать, неважно, что всего лишь несколько человек может их ожидать. Тем не менее термин был очень живописным для большинства ученых, чтобы сопротивляться ему, и теперь он, кажется, прочно обосновался в нашем мире. Джон Гукенхаймер, один из пионеров в этой области, даже озаглавил одну из своих статей «Странный, странный аттрактор».

Странный аттрактор, когда он существует, является истинным сердцем хаотичной системы. Если конкретная система существует некоторой время, то состояния, иные чем те что близки к аттрактору могут вообще не существовать; они никогда не произойдут. Для одной специальной сложной хаотичной системы – глобальной погоды – аттрактор – это просто климат, то есть набор определенных погодных шаблонов, которые имеют определенный шанс случиться в то или иное время.

До сих пор существует нечто контринтуитивное относительно возможности состояния, которые почти также отделены невозможными состояниями, как и в любом странном аттракторе. Это почти как утверждать, что максимальная температура в следующую среду или через год от этой среды будет 25 или 27 градусов, но ни в коем случае не будет 25 и, если измерять до ближайших десятых градуса, может быть 25.1 или 25.3 или 26.9 или 27.2, но никогда не будет 25.2 или 27.0 или 27.1. Подобное заявления вряд ли поступит от предсказателя погоды или климатолога, напрямую заинтересованного в длительных прогнозах.

Странный набор точек, в которая линия может пересекать странный аттрактор, это простой пример набора Кантоа. Германский математик Георг Кантор, будучи пионеров в этих и других вещах, представил математическому миру знаменитый пример. Возьмем горизонтальный линейный сегмент, отбросим среднюю треть от каждого из двух результирующих сегментов, в тог же время сохраняя конечные точки, и продолжим процесс до бесконечности.  Кажется, что в итоге ничего не останется кроме конечных точек, но не в этом случае. Точка на одной четверти расстояния от левого конца изначального сегмента, к примеру, будет после первого шага равна одной четверти расстояния от правого конца левого сегмента, а после последующего шага будет одной четвертной расстояния от одного конца до другого сегмента в котором она лежит. Таким образом никогда не будет конечной точки, то есть ее никогда не уберут полностью.

Существенная роль нашей модели в том, что мы получили последовательные панели на Рисунке 11. Поскольку каждый набор точек определен маппингом Пуанкаре в часть самого себя, это в силу самого факта превращается в набор оккупировавший меньшую область в фазовом пространстве. Наборы точек, которые оккупируют меньшие области провоцируют образование наборов точек, которые затем оккупируют еще более мелкие области. Если начальный набор точек заполняет небольшой круг, это последовательные карты, по меньшей мере, которые заполнят последовательность приблизительных эллипсов. Поскольку ближайшие точки имеют тенденцию сходиться с точками расположенными дальше, то есть поскольку в системе существует проявление существенней зависимости, длинные оси эллипсов должны быть в итоге, если не сразу, становиться длиннее и длиннее. В то же самое время короткие оси станут короче настолько стремительно, что области близкие к эллипсам станут меньше и меньше.

На Рисунке 15, который, как и картинки аттракторов, является диаграммой поперечных секторов фазового пространства, точки обведенные кругом близ верхнего левого угла представляют начальные положения и скорости нескольких санок; все они находятся немного восточнее холма и двигаются на несколько градусов восточнее южного направления. Точки окруженные кривыми которые напоминают эллипсы, а те, что лежат последовательно дальше от круга представляют собой положения и скорости тех же санок, после того как они спустились на 1,2,3,4 и 5 метров. Продолжительное растяжение одной оси и сжатие другой очевидно. Окончательный «эллипс», который видимо растворился, выглядит почти как сегмент кривой. Его длинная ось растянута примерно впятеро, но короткая ось сжата почти в двадцать раз, так что она ближе менее чем в четыре площади, окруженной кругом.

Двухпеременная система, в которой области продолжают уменьшаться, или более комплексные системы, в которых многомерные объемы в фазовом пространстве продолжают уменьшаться, неважно растягиваются они в одном или возможно в нескольких направлениях, называются диссипативной системой. Материальная диссипативная система обычно включает некоторые физические демпферные процессы, подобные трению. Большинство известных физических систем диссипативны, хотя некоторые из них ведут себя почти как недиссипативные, и могут даже быть хорошо изучены при помощи недиссипативных математических моделей, при условии, что в исследовании не стоит задачи обнаружения аттракторов. Например, маятник, чье движение происходит против демпфирующих эффектов трения в работе часов, часто представляется как непринужденная недемпфируемая систему, и следовательно, ее можно назвать недисспативной.

Хотя последовательные панели на Рисунке 11 ясно указывают на появление странного аттрактора, мы можем оставить мысли о том, является ли данное поведение всего лишь случайностью системы, которую мы изучаем.  Простой анализ покажет, что странные аттракторы в действительности скорее являются главными проявлениями хаотичных диссипативных систему, ровно настолько, насколько заданные переменные способны их ограничить. Как мы увидим далее, система, не являющаяся диссипативной  может вообще не иметь аттрактора.

Для большей ясности рассмотрим двухпеременную систему. Но для начала вспомним, что в любой хаотичной системе два почти одинаковых состояния постепенно переходят в состояния уже не очень похожие на те два состояния, которые были выбраны случайно.

Рисунок 15. Точки круга представляют начальное поперечное положение и скорости нескольких санок. Удлиненные структуры в порядке увеличения расстояния от круга представляют положения и скорости тех же санок в интервале 1 метр вниз по склону. Заметим, что рисунок охватывает лишь небольшую часть области, охваченной Рисунком 12.

Это подразумевает, что небольшая локальная область в фазовом пространстве, такая как одна из охваченных кругом на Рисунке 15, будет, спустя какое-то время, деформирована в область, которая протянется на большем пути через аттрактор. Если система диссипативна, новый регион будет иметь меньшую площадь чем оригинальный, и будучи длиннее, станет уже и будет выглядеть, как сегмент кривой.

Далее заметим, что оригинальный небольшой регион может быть разделен на множество очень мелких регионов. Из этого следует, как и ранее, что каждый очень маленький регион будет также, спустя какое-то время,  деформирован в удлиненный регион, который будет соединять аттрактор, и станет напоминать кусочек кривой. Поменяв кусочки местами, мы увидим, что оригинальный регион, на этот раз, будет деформирован в регион, который напоминает более длинный сегмент кривой. Со временем сегмент станет бесконечно длинным. Поскольку сегмент проходит длительную деформацию, он будет напоминать аттрактор все больше и больше, а сам аттрактор в итоге должен быть кривой бесконечной длины.

Поскольку переменные ставят определенные рамки, бесконечно длинный аттрактор, как показанный на Рисунке 12 или 13, должен вписываться в ограниченный регион. Это может произойти при помощи удвоения себя бесконечное число раз. И такое проявление будет действительно «странным».

Это свидетельствует о том, что прямая линия будет пересекать этот аттрактор в бесконечном множестве точек, но потребуются более детальные исследования, чтобы показать, что эти точки должны сформировать множество Кантора – в котором каждая пара точек отделена друг от друга. Принимая во внимание подобное исследование, нельзя уходить от возможных исключений. Тем не  мене, этот краткий анализ уже должен освободить нас от мнения компании Чирикова и Израилева.

Настало время вернуться к скользящей доске с ее четырьмя переменными. Здесь аттрактор содержится в четырехмерной «коробке». Поперечная секция коробки, скажем секция с константой х, будет трехмерной; это будет обычная коробка, в которой будет содержаться аттрактор маппинка Пуанкаре.

В трехмерном пространстве, странный аттрактор может представляться как бесконечный комплекс кривых, но он может быть также быть бесконечным комплексом плоскостей. Чтобы определить графически, какую форму примет аттрактор, мы должны нарисовать его проекция на одной стороне коробки. В предыдущем случае мы должны были видеть кривые, но в случае с отдельными плоскостями  мы получим проекций сверху каждой области и полностью заполненную область с лицевой стороны.

Рисунок 16. Двухмерная проекция трехмерной секции Пуанкаре аттрактора модели доски. Проекция получена построением на основе значений переменной V, y и без учета  U.

В настоящий момент, мы можем обнаружить проекций поперечной секции путем простого повторения процедуры вычисления, которую мы использовали при создании аттрактора на Рисунке 12, игнорируя факт, что U в действительности влияет на аттрактор. Мы получим Рисунок 16, который имеет определенное сходство с Рисунком 12. Мы заключим, что, как и в случае с моделью санок, модель доски имеет аттрактор, чье пересечение секции содержит кривые. Если в фазовом пространстве, направление в котором U меняется, это позволяет предположить, что оно будет перпендикулярно странице, мы можем создать трехмерную поперечную секцию, если уберем некоторые части Рисунка 15 за пределы страницы назад, а другие части вперед. Там, где две кривые на рисунке пересекаются, одни из них может быть толкающей, а другая толкаемой.

В длительном процессе состояния растяжения и сжатия осей бесконечно малых элипсоидов служат разделительными областями отдельных динамических систем. Как для санок, так и для доски только длинная ось продолжает растягиваться. В модели доски, если две оси растягиваются, или даже если вторая ось сжимается менее стремительно, чем первая растягивается, аттрактор маппинга Пуанкаре будет состоять из плоскостей, вместо кривых. В системе со множеством переменных, могут растягиваться много осей. Если система хаотична, по крайней мере одна из осей должна растягиваться, но если система также диссипативна, некоторые из осей должны сживаться так быстро, что объем эллипсоиду будет все время уменьшаться.

Разбитые сердца

В противоположность модели санок, модель доски имеет второй аттрактор. Доска, которая начинает двигаться очень медленно около нижней точки ямы или так которой был дан начальный толчок при входе в яму, может стать пойманной в ловушку, что в итоге приведет к полной остановке в нижней точке. Состояние стабильного равновесия и является аттрактором, представленный в четырехмерном фазовом пространстве одной точкой. Следовательно, модель не всегда может вести себя хаотично. В действительности получается, что если в сердце системы существует набор аттракторов доска модели будет представлять собой разбитое сердце.

Рисунок 17. Секция лыжного склона. Зубчатая кривая отделяет точки на склоне от тех, в которых доска начала была заперта в яме, а также от тех, в которых будет продолжаться движение вниз по склону. Центральная точка указывает нижнее положение ямы, а другие две точки показывают точки седловины.

На Рисунке 17 мы видим поделенную на светлые и темные участки шахматную доску, которая покрывает лыжный склон. Также мы видим особую нарисованную кривую. Доска начинает движение от состояния покоя, близко к кривой, дальше она снова приходит в состояние покоя в нижней точек, показанной центральной точкой. Доска начинает движение от состояния покоя в точках снаружи кривой, но все еще в поле Рисунка 17, она двигается дальше вниз по склону. На более продвинутой картинке склоны сходная кривая будет окружать каждую яму.

Когда систему имеет более чем один аттрактор, точки в фазовом пространстве, которые связаны с определенным аттрактором из основания аттрактора для этого аттрактора. Каждое основание содержит собственный аттрактор, но состоит по большей части из точек, которые представляют моментальные состояния. Два смежных основания аттрактора будут разделены пограничным основанием.

Поскольку основания на нашей модели полностью четырехмерны, визуализация одного из них может быть достаточно неудобна. Взяв поперечную секцию фазового пространства путем фиксации значений одной переменной, как мы делали при создании Рисунка 16, мы все еще имеем дело с трехмерными объектами, что может быть также трудно для оперирования. Мы модем частично решить нашу проблему, взяв двойное поперечное пересечение. Это возможно, если мы зафиксируем значения двух переменных, взятых случайно, а затем позволим двум другим меняться. Двойные пересекающиеся области оснований будут двухмерными, и они будет отделены одномерной границей – кривой.

Для ясности давайте примем, что U и V, компоненты скорости, это некие переменные, чьи значения мы зафиксируем и пусть оба значения будут равны нулю. Допустим значения Х и Y равны расстояниям сверху вниз и слева направо от определенной точки на секции. Поскольку X и Y также, по определению, равны южному и восточному расстояниям от ямы на склоне, двойное поперечное сечение должно для всех практических целей повторять картину склона. Двойное поперечное сечение секции основания границы тогда идентично закрытой кривой на Рисунке 17.

 Кто-то может предположить, что эта кривая была бы эллипсом или некой гладкой кривой, но очевидно, что она больше похожа на лист имеющий шесть отдельных выступов. Их можно сосчитать.

Рассмотрим доску, которая начинает движение из состояния покоя, в точке на кривой. В фазовом пространстве, точка имеет состояние, представленное на основании границы; не будучи внутри основания, она не достигнет аттрактора. Вместо этого он примет единственно возможное состояние – останется на границе. Как только доска продолжит движение, сила трения будет уменьшать ее энергию и, поскольку она может никогда не восстановить эту энергию без продолжительного движения вниз по склону, а также покидая границу, в итоге она вновь обретет состояние покоя.

Внутри темного квадрата шахматной доске и светлого квадрата немного к северу, существует четыре точки, в которых доска может оставаться в покое. Одна из этих нижних точек это яма, где установлено равновесие. Другие три точки все близки к кривой показанной на Рисунке 17, и равновесие здесь нестабильно. Только одна из этих точек представляет собой также выступ; это высшая точка холма и южная точка «листа» - назовем ее южной точкой. Другие две точки расположены там, где край листа пересекается от светлого квадрата к темному, и показано это точками на Рисунке 17. Это обе точки седловины – точки где склон принимает форму как горный перевал. Если двигаетесь вдоль края листа в направлении от одной из этих точек, то будете двигаться вверх, но если будет двигаться прямо через край, то будете двигаться вниз – в яму или нижнюю часть склона.

Доска, помещенная в состоянии покоя почти, но не точно в южной точке, начнет движение в направлении крутейшего спуска. Если она помещена точно на север от южной точки, то будет скользить прямо через яму и затем обратно, в итоге придя в состояние покоя. Однако поскольку южная точка лежит на краю, который удлинен в направлении север-юг, то кратчайшее расстояние от южной точки в любом направлении, кроме почти прямо на север, будет округлой кривой уклоняющейся в одну ли другую сторону. Затем она стремительно направится вниз по склону. Если доска не двигается вниз по склону, ни в яму – что произойдет, если на ее пути не будет границы – то она будет помещена почти но не точно в точку с севера на юг; ближе к южной точке, чем к северной, где должна быть. Таким образом, допустимые точки сформируют выступ в южной точке, который и будет потом считаться.

Северная точка – самая северная точка границы – это точка, из которой доска начинает движение из состояния покоя и будет скользить вдоль южного направления, через яму, и придет в состояние покоя в южной точке. Доски начиная движение близ северной точки следовательно придут почти в состояние покоя, почти в южной точке, после которой они будут вести себя более или менее так, словно им был дан небольшой толчок из южной точки. Большинство из них продолжит движение вниз по склону, но некоторые, начиная почти вдоль юга северной точки, будут заперты, а форма границы близ северной точки будет повторять почти идеально ту, что находится в южной точке – то есть северный выступ.

Доски, начиная движение из состояния покоя с каждой стороны листа будут в основном находиться ближе к седловине точки, но очевидно, что каждая стороны имеет короткий центральный сегмет, из которого доска будет пересекать точку на противоположной седловине. Эти сегменты должны быть отделены от остальных частей  точками из которых доска не достигнет точки седловины, и  будет, следовательно, выполнять только единственное что останется – придет в состояние покоя в южной точке. И снова, граница близкая к любой из этих точек будет имитировать границу почти в южной точке; таким образом, выступы в этих точках мы объяснили.

Вспомним теперь, что полные основания аттракции четырехмерны, в то же время разделяющая граница – это трехмерное множество, включенное в четырехмерное фазовое пространство. Состояния, включенные в это множество эффективно заключают в себе новую трех-переменную динамичную систему, включенную в большую систему. Динамические системы подобного сорта могут обладать собственными аттракторами, как и собственными основаниями и основаниями границ, если они имеют более чем один аттрактор. В настоящем случае новая система имеет два аттрактора – состояний покоя в точках седловин. И основания имею трехмерные множества, чьи двойные пересекающиеся секции являются гладкими сегментами сторон листа, тогда как границы их оснований являются двухмерным множеством, чье двойное пересечение состоит из кончиков шести выступов. Скорее в простой секции, а не с двойным пересечением должны проявиться выступы виде лезвий ножей. Чтобы увидеть их полную структуру уже нужно четырехмерное видение.

Поскольку новая система имеет собственное пограничное основание, состояния, ограничивающие ее границу, формируют все еще меньшую динамичную систему, включенную во включенную систему. Это единичный аттрактор – состояние покоя в южной точке – и здесь процессы включения заканчиваются.

Пограничные основания более динамичных систем могут иметь очень комплексные структуры, и даже в настоящем примере они могут быть более комплексными, чем должны быть. В качестве границ или новых динамических систему они составляют другой аспект теории динамических систем, которые рассматривает множество ученых.

Системы могут иметь множественные аттракторы и при этом не быть хаотичными. В обоих моделях доски и санок, если высота холма над соседней ямой заметно уменьшается, это может спровоцировать появление двух аттракторов, каждый из которых создаст собственную периодическую траекторию, одна прогрессирующая в юго-восточном направлении, а другая в юго-западном. Каждый аттрактор будет состоять из единственной кривой, и каждый будет появляться в единственной точке поперечного сечения Пуанкаре.

Аттракторы являются примерами инвариантных комплексов – каждый из которых состоит точно из тех же точек, как если бы каждая точка была заменена другой точкой, которая участвует в маппинге. Когда существует более одного аттрактора, каждое основание аттрактора — это инвариантный комплекс, как основание границы, иногда называемое сепаратрисой. И все еще существует другой инвариантный комплекс, который соединяет аттракторы, когда их более одного, и который по аналогии должен называться «коннектрисой», но в основном, вместе с аттракторами, которые он соединяет, его называют комплексом аттракции. Несмотря на это название, комплекс аттракции не должен смущать своим названием тех, кто может ошибочно принять его за комплекс аттракторов, которые чаще всего являются лишь его составной частью. Чтобы создать комплекс аттракции мы можем действовать также, как делали это на Рисунке 11; начать с большого количества точек, предположительно представляющее бесконечное количество, и определить, что случится когда эти точки будут заменены своими образами в движении. Ограничительный набор и будет комплексом аттракции.

Аттрактор, полученный на Рисунке 11, следовательно также будет комплексом аттракции. Рисунок 18 может быть получен сходным образом, за исключением того, что холмы возвышаются теперь на 50 вместо 100 сантиметров над ямами, а санки двигаются с шагом в 10 метров, вместо 5. Спустя 30 метров большинство точек сдвинулись к одной или другой из двух малых темных областей. Оригинальные пять тысяч точек были выбраны случайным образом, что возможно и сделало продолжение маппинга не слишком ясным, каждая точка пошла вверх в одну или другую из двух точек – аттракторов – по одной в каждой темной области. Однако если бы мы могли начать движение в каждой точке в прямоугольнике, тогда существовало бы определенное повторение в некоторых точках, остающихся на бесконечно длинной траектории, бесконечно закрученные – остатки комплекса аттракции – соединяющие два аттрактора.

Хаос другого вида

Давайте бросим другой взгляд на парадигму стабильных динамических систему – то есть маятник часов. Трение уменьшает энергию, понемногу, но постоянно, а часы возмещают потерю энергии, возможно давая маятнику некий толчок в каждой крайней точке качания. Если мы построим скорость шишки маятника по отношению к смещению от вертикали, мы получим простую замкнутую петлю, напоминающую эллипс – фазовое пространство, представляющее собой комплекс всех состояний, которые маятник достигает во время качания.

Как мы видели ранее петля также представляет собой аттрактор. Если мы сообщим маятнику толчок, он ответит еще большим диапазоном качания, но возможно в течении минуты он вернется к привычному ритму; новые состояния будут погашены и все вернется к привычной петле.

Теперь представим, что пока маятник качается нормально, мы можем как-то убрать силу трения. Допустим вместе с этим мы удалим часовой механизм, который теперь уже не нужен. Маятник будет продолжать качание пока что-то не случится, а его состояние можно проследить как почти ту же самую петлю. Из этого не удивительно, что маятник без внешнего стимула служит как модель того, что происходит в обычных часах. Тем не менее, динамические системы модели маятника в реальном мире не имеют между собой много общего. Для маятника, не сдерживаемого силой трения,  замкнутая петля не является аттрактором;  состояния, которые не напоминают петлю никогда не будут стремиться к таковым. Если мы сообщим маятнику толчок, то возникнет уравновешивающее более широкое качание, а обычную петлю заменит большая петля, и все будет продолжаться до тех пор, пока мы не придадим маятнику новое качание. Будет бесполезно ожидать моментального эффекта остановки; здесь нет моментальных состояний. Коллекция точек в фазовом пространстве, занявших область между двумя любыми концентрическими петлями, будет продолжать оккупировать область, и следовательно никогда не уменьшится до меньшей области.

Системы, в которых объемы в фазовом пространстве, или области в которых система имеет две переменные, не уменьшаются и не возрастают в течении времени называются сохраняющими объем. Системы в которых имеется некая величина, к примеру общая энергия, сохраняют фиксированное значение во времени и называются консервативными. Консерватизм и сохранение объема часто идут рука об руку, а свойство обеих систем часто называют Гамильтоновскими, хотя системы, описанные уравнениями сформулированными ирландским математиком Вильямом Ровеном Гамильтоном – это нечто более сложное. Модели знакомых реальных физических систему, которые просто игнорируют все диссипативные процессы и все источники энергии являются в основном Гамильтоновскими. Возможно большинство знакомых вам реальных земных или вселенных Гамильтоновских систем состоит из Солнца и планет, вращающихся вокруг него. Как и с маятником без трения, распространение набора точек в фазовом пространстве не будет сходиться в меньшие наборы, и там не будет аттракторов.

Гамильтоновские системы могут быть хаотичными; заметим, что глубокое размышление указывает, что пинбол машина, которая по сути должна быть хаотична, не вызывает рассеяния. Следовательно, хаотичные системы не всегда имеют странные аттракторы, хотя большинство обычных компактных диссипативных хаотичных систем их имеют.  Несмотря на отсутствие эти интригующих явлений, многие ученые выбрали Гамильтоновские системы как интересный объект изучения.

Чтобы понять, почему все это должно быть именно так, давайте рассмотрим доску на лыжном склоне, как гамильтоновскую систему. Мы можем сделать это, математически, удалив трение, а также удалив основной спад в южном направлении при подъеме, который играет сходную роль с часами, которые качают маятник. Холмы и ямы будут тогда проецироваться на горизонтальную поверхность.  Мы можем даже допустить, что обратили старую систему в новую внезапно, после того как доска проделала достаточно длинный путь, чтобы устранить любые моментальные эффекты. Мы можем затем попытаться заключить, что если мы не будем производить дальнейших изменений, наши действия будут иметь несвязанный эффект на последующее движение, так как в случае с маятником, однако если мы просчитаем это на компьютере, то получим, что это не тот случай.

Энергия доски состоит из кинетической, представленной скоростью, и потенциальной, представленной подъемом над днищем ямы, и эта сумма двух форм энергий именно то, что остается постоянным с течением времени. Общая энергия следовательно является постоянной моделью, что позволяет нам логически додуматься до того, что наша система состоит из уже знакомого семейства динамических систему – одна система для каждого значения энергии. Давайте детально рассмотрим возможное поведение нескольких досок с одинаковой общей энергией, и следовательно, принадлежащих одной и той же системе. Если доски имеют очень небольшую энергию, они будут заперты в светлых квадратах шахматной доски – что показана на Рисунке 6 – окружающих ямы. Если они получат чуть больше энергии, то могут через углы убежать к другим светлым квадратам, но не смогут далеко проникнуть в темные квадраты. Если же энергии будет еще больше, тогда они могут двигаться куда угодно. Для ясности давайте рассмотрим пример промежуточного случая, в которому энергия представляет девять десятых от минимальной суммы необходимой, чтобы достичь вершины холма.

Рисунок 19. Траектории семи досок, начавших движение с одинаковыми энергиями и скоростью из точек, размещенных на расстоянии в 1 сантиметр друг от друга на «Гамильтоновском лыжном склоне» без трения и продолжительного падения в южном направлении.

В работе с диссипативной моделью лыжного склона мы сперва определили хаос при взгляде на семь траекторий досок, начавших движение при сходных условиях, и заметив, что они стремительно разветвились. Мы можем изучить новую модель сходным образом. Рисунок 19 показывает что может случиться; здесь стартовые точки расположены с промежутком в 1 см, а все остальное аналогично. До 50 метров траектории визуально разошлись, подтверждая присутствие хаоса, но затем они стали действовать так беспорядочно, что когда они показаны вместе, не так просто проследить траекторию каждой отдельной доски от начала до конца. Две доски даже «нарисовали» круг двигались назад через стартовую линию – то есть сделали нечто такое, что невозможно в диссипативной модели. Даже не смотря на то, что новая система консервативна,  то есть в ней сохраняется общая энергия каждой доски, не существует сохранения оригинальной прогрессии в южном направлении, как было на диссипативной модели.

Существуют различные способы показать долговременные свойства этих и других траекторий, а в особенности это просто сделать так, как мы делали на диссипативной модели. Мы выбрали начальную точку, а затем построили поперечную скорость в отношении к поперечному положений, это то самое время, когда доска пересекает западно-восточную линию через яму и холм, то есть х равно 0. Для диссипативной систему процедура представлена поперечной секцией странного аттрактора; мы уже видели , что для любой Гамиильтоновской системы тут должно происходить что-то еще, поскольку там не будет аттрактора.

Рисунок 20. Секция Пуанкаре хаотичного моря, созданная гамильтоновской моделью лыжного склоны, когда общая энергия представляет девять десятых необходимой, чтобы достичь верхушки холма.

Рисунок 20 показывает, что случается, когда начальная точка является началом движения одной из траекторий на Рисунке 19. Не удивительно, что точки появляются в виде заполненных полей, иногда называемых хаотичным морем, вместо того, чтобы лежать на отдельны кривых с пространством между ними. Что может удивлять нас, так это четыре заметных отверстия. Кажется необычным, что такие большие поля были пропущены, когда они должны быть заняты.

Если это правда, что последовательности точек – представляющих состояния в последовательных ключевых локация вдоль траектории на склоне – никогда не войдут в дыру, то в итоге может быть правдой и то, что другие последовательности, начинающиеся в дыре, никогда не войдут в море. И это будет так, поскольку возможная траектория остается возможной траекторией, если направление движения вдоль нее будет обратимо – заметим, что случилось близ юго-западного угла на Рисунке 19 0, поэтому возможная последовательность точек останется возможной последовательностью, если порядок будет обращен. И мы можем повторить наш опыт огромное число раз, выбирая каждый раз в качестве начального состояния одну из дыр.

Рисунок 21. Некоторые из периодических островов и периодических береговых линий в хаотичном море, изображенном на Рисунке 20.

Мы получили общую картину на Рисунке 21, содержащую четыре заплатки, вписывающиеся в отверстия на Рисунке 20. Каждая новая последовательность продуцирует замкнутую петлю, или цепочку малых петель, окружающих большую. Точки последовательности не имеют длительного прогресса вдоль петли; они прыгают из одной локации в другую, лавным образом прыгая на более или менее равное расстояние, и завершая окружность, они как бы заполняют промежутки.

Рисунко 22. Детально увеличенный периодический островок на Рисунке 21. Заметим дополнительное горизонтальное растяжение.

Рисунок 22 показывает нам увеличенную заплатку, с дополнительным горизонтальным растяжением. Петли показаны в виде шести последовательностей точек. Одна последовательность создает цепочку из семи петель, которая была едва видна до этого, в то же время другая создает семь еще меньших петель внутри них. Снаружи самая большая петля показана как цепочка меньших петель – на этот раз девятнадцатью. Они создают одиночную последовательность точек, которые охватывают все девятнадцать петель, перед тем как вернуться к первой. Граница хаотичного моря, не показана, лежит совсем близко к границе этих петель, но прежде чем она достигнет паттерна, который мы видели – более большие петли окружающие цепочки меньших петель и еще больше меньших петель, окружающих большие петли – повторяют себя бесконечное число раз. Также существуют цепочки крайне малых петель, окружающих каждую малую петлю. Эта разновидность структуры, которую так интересно изучать в виде странного аттрактора, появляется в основном в гамильтоновских системах в тех или иных вариациях. Заметим, что в большой заплатке на Рисунке 21 первая цепочки состоит из девяти петель вместо семи.

Удобно выбранные начальные состояния будут создавать одиночные точки в центрах концентрических петель. Они будут представлять собой периодические траектории, в то время как петли сами по себе представляют почти-периодичные траектории. Большая петля на Рисунке 21, которая окружала бы море, не была добавлена по эстетическим соображениям; она отвечает другой почти-периодичной траектории, вдоль которой доска будет прыгать через яму между двух холмов. Диссипативные системы часто абсолютно хаотичны, со странными аттракторами, или целиком периодичны, подобно маятнику с простым аттрактором. В гамильтоновских системах даже для одиночного значения общей энергии это распространенное явление для некоторых начальных состояний, ведущих к почти-периодичным вариациям, тогда как другие ведут к хаосу.

Рисунок 23. Секция Пуанкаре хаотичного моря, подобная той, что есть на Рисунке 20, когда общая энергия равна 99 процентам необходимой для того, чтобы достичь вершины холма.

При других выборах общей энергии, периодический траектории подобны тем, что соответствуют центрам петель могут быть не стабильны, особенно в случае начальных состояний, выбранных близко к тем, что ведут к хаотичным траекториям, и выраженные отверстия, подобные тем, что на Рисунке 20 не появятся. В то же время другой выбор общей энергии может создавать еще больше дыр; это особенно вероятно, когда энергия лишь немного не достает значения, достаточного, чтобы доска могла достигнуть вершины холма, а также при небольшом уклоне холма, который благоприятствует созданию регулярной траектории. Рисунок 23 создан в том же стиле, как и Рисунок 20, но теперь общая энергия равна 99 процентам необходимой, чтобы пересечь холм. Обнаруженные дыры еще более выражены, а самые большие стали еще больше, хотя верхние и нижние почти исчезли.

Внутри и снаружи хаоса

На симпозиуме, где я участвовал некоторое время тому назад, когда хаос уже привлек к себе заметное внимание, но его вездесущность еще не всеми принималась, председатель предложил аудитории временно по умолчанию назвать главную изучаемую тему. Кто-то решил, что это будут «маршруты хаоса». А я не был согласен с избранной позицией, не по тому, что был против темы вообще, но против подобного названия. У меня было ощущение, что для того чтобы понять сущность хаоса, нам нужно узнать, как именно он зарождается из «нормального» поведения – регулярного поведения – если некая опция или семейство динамических систем были бы прослежены во временной прогрессии. Я чувствовать, что не правильно уделять внимание регулярному поведению, как более фундаментальному типу, и что было бы логичным при понимании регулярности узнать, как именно она возникает из хаоса. Я предположил, что мы должны в итоге назвать тему «маршруты из хаоса».

Это правда, что во многих семействах диссипативных динамических систем существуют только состояние покоя, если нет усилия извне. Затем, когда усилия возрастает шаг за шагом, возникает сначала регулярное поведение. А затем уже появляется хаос, если вообще появляется. Даже в некоторых реальных системах, таких как глобальная циркуляция атмосферы, есть усилие и оно достаточно сильное; однако не существует причин верить, что погода ведет себя подобно часовому механизм прежде чем ее поведение станет хаотичным; и нет причин создания постулата, который гласит, что существует некий маршрут по которому хаос возникает из регулярного поведения.

Тем не менее, не вызывает сомнений, что именно цепочка событий, через которые хаос может развиться из регулярного поведения, или регулярное поведение развиться из хаоса, что является существенными аспектами семейства динамических систем. Общепринятый ответ небольшому увеличению в какой-то константе – это небольшая модификация аттрактора и едва заметные изменения других свойств. Однако иногда почти незаметные изменения в константе могут быть причиной значительного изменения в системе поведения; из статичного в периодичный, из статичного или периодичного в почтиз-периодичное, или почти периодичное в хаотичное. Даже хаос может внезапно измениться на более комплексный хаос, и, конечно, эти изменения могут идти в обратном направлении. Такие изменения называются бифуркациями.

Бифуркации могут случаться при различных обстоятельствах. Состояние стабильного равновесия могут смениться нестабильным, когда некая константа будет увеличена. Если исходное состояние было аттрактором, то оно может успокоиться; меньшее беспокойства будет усилено и создаст новый режим поведения. Изменения из нестабильного состояния в стабильное возможны в равной степени. Гипотетическое отсутствие трения на вершине – к примеру гамильтоновская ситсема – может постепенно перейти в равновесие, если оно направлено вертикально, но тем не менее, вскоре все обрушится, поскольку равновесие не стабильно, в то же время в один момент времени оно будет присутствовать, а затем внезапно исчезнет.

В качестве альтернативы режим поведения может прекратить все проявления. Доска может принять состояние покоя в нижней точке ямы на лыжном клоне, что иллюстрирует данный тип бифуркации. Если высота могола над соседними ямами – назовем ее h – уменьшится, тогда как другие константы останутся теми же самыми, то высшие точки на холмах и низшие точки в ямах исчезнут; очевидно, когда h падает немного ниже 80 см, и не будет состояния равновесия, стабильности или нестабильности. Бифуркация, при которой режим поведения внезапно выходит из определенного состояния, а не просто становится не стабильным, называется тангенциальной бифуркацией.

Рассматриваемые последовательности бифуркаций, которые могут случиться, когда константа принимает значительный диапазон значений, позволяет нам вновь вернуться к доске на склоне, на этот раз когда она двигается слишком стремительно, чтобы попасть в ловушку ямы, и увидим, как поведение меняется вместе с изменением переменной h. На Рисунках 24 и 25 представлены бифуркационные диаграммы. Вертикальная координата  h, выраженная в сантиметрах, в то время как горизонтальная координата представляет временной максимум V, который самый высокий на восточном и низкая на западном скоростном направлении, которые доска рисует в виде последовательной осцилляции – последовательные перемещения из нижнего значения к высшему значению и обратно к низшему. Заметим, что константа была увеличена не за счет внешней силы; это просто модификация спуска холма, которая могла случиться в любом случае.

Когда рисунки показывают гладкие кривые, поведение будет периодичным. Каждая осцилляция будет подобна последней нарисованной или некой предыдущей, поэтому только одно или несколько различных максимальных значений переменной V могут отвечать любому выбранному значению h. Когда область затемнена, как бывает, когда мы почти на верху рисунка, где случается хаос, и последовательная осцилляция V может достигать пика при практически любом значении в рамка определенного диапазона.

Рисунок 24. Возможные максимальные значений, указанные по шкале в основании, когда V, скорость в восточном направлении доски, может выразиться в отдельных осцилляциях по мере того как доска скользит вниз по склону, когда высота h холмов над ямами при определенных значениях указана шкалой слева. Значения V можно найти путем увеличения h на небольшие шажки.

Рисунок 24 был создан путем изменения значения h с очень небольшим увеличением от 0, когда холмы ми ямы отсутствовали. Вплоть до значения 120, когда они были немного больше, чем на нашем исходном примере. Рисунок 25 был создан сходным образом за исключением того, что h подверглось постепенному уменьшению от значения 120 до 0. Даже при беглом взгляде на рисунок обнаруживается, что h имело обширные диапазоны, в рамках которых поведение доски было не качественным и часто имело лишь небольшие изменения, но существует несколько значений, при которых поведение изменяется внезапно; это точки бифуркации.  Вообще говоря два рисунка сходны, но существует заметное различие в диапазоне от 22 до 44 сантиметров. Эти и другие опции рисунков очень заметны, хотя числовые подсчеты все же необходимы, чтобы определить где и в каких случаях они будут происходить.

Сначала обратив внимание на самый центр Рисунка 24. Кривые на каждой стороны, которые неотличимы от небольших прямых линий, также представленных на Рисунке 25, представляют различные, но при этом симметричные периодические траектории; на одной из них доска резко двигается в юго-западном направлении между холмами, тогда как на другой она смещается в юго-восточном направлении. Когда h достигает значения 73 периодичное поведение становится нестабильным. Доска промахнется, только чтобы не долететь до следующего прыжка, до того как установится новый стабильный паттерн поведения, с альтернативной сильной и слабой осцилляцией. Даже не смотря на то, что осцилляция может сохранить исходный период, интервал между повторениями будет удвоен. Система будет подвержена двойной периодической бифуркации.

По мере увеличения h новая форма осцилляции станет нестабильной, и снова период удваивается; это очевидно, когда h достигает 88. Хотя настоящий рисунок имеет небольшое разрешение, чтобы показать то, что произойдет в дальнейшем, период действительно продолжит удваиваться бесконечное число раз, после успешного возрастания h, до тех пор пока не достигнет кульминационной точки – хаоса.

Последовательности двойных периодичных бифуркаций, заканчивающиеся хаосом, повсеместно встречаются в динамических системах. Они не ограничены рамками математических моделей и могут наблюдаться случайно или намеренно в широком спектре лабораторных опытов. Подобно всаднику на несущейся лошади, который хочет доставить почту как можно быстрее, привстающий вверх из седла на одном шаге и садящийся в него на другом, вместо того чтобы просто качаться вверх и вниз на каждом шагу, будет благодарен за удвоение периода. В настоящий момент, но не в основной, хаос, который вытесняет период удвоения, вскоре дает путь другой форме периодического поведения, при 91 сантиметре.

Рисунок 25. Аналогичный рисунок, как на Рисунке 24, за исключением того, что h была постепенно уменьшена.

Далее обратим внимание к основанию Рисунка 24, где единственный указанный максимум значения V, поперечной скорости, является нулем; это показывает то, что доска скользит в южном направлении, вдоль проходящих через центры холмов и ям. Ближайший холм доска проезжает как горный хребет, немного отклоняясь западнее или восточнее, что приводит к смещению. Перед тем как доска отходит в скольжении слишком далеко, она будет почти рядом со следующей ямой, поэтому она вновь вернется обратно, и здесь поможет еще эффект трения, который сохранит прямую траекторию. Однако очевидно, что движение через холмы будет медленнее, чем через ямы, и следовательно будет тратить больше времени около холмов, чем около ям, а различие в скоростях станет больше, если холм будет больше и яма глубже.  Когда h достигает значения 33 доска будет находиться почти около холма так долго, чтобы дестабилизирующий эффект был смещен стабилизирующим эффектом трения, а прямолинейная траектория будет нестабильной. Доска должны сделать что-то новое и очевидно, как видно на рисунке, это будет переход в третью фазу осцилляции, без вычета прогрессии на запад или восток.

Это проявляется как осцилляция имеющая период удвоения, едва обнаруживаемом на рисунке, а затем устанавливается хаос. Доска продолжает рисовать осцилляцию нерегулярно назад и вперед через северо-южное направление, но когда h достигает 44, она будет колебаться так широко на одной осцилляции, что рано или поздно перевернется, оставшись запертой на юго-западном или юго-восточном маршруте между холмами. Хаотичное поведение более не будет существовать, ща исключением моментального поведения; здесь будет бифуркация в периодичность.

Возвращаясь к Рисунку 25, мы обнаруживаем, что периодическая осцилляция в 44 сантиметрах стабильна, и h имеет пониженное значение. Пока h не достигнет значения 22 осцилляция не исчезнет, не потому что система будет нестабильна, но потому, что доска не может больше двигаться достаточно быстро в восточном или западном направлении; например, если существует седловая бифуркация.  Таким образом существует заметный диапазон h для которого соответствующая динамическая систему имеет два возможных режима поведений, с двумя аттракторами – тремя, если мы проведем отличие между юго-западной и юго-восточной прогрессией – каждая с собственным основным аттрактором.

Если вернуться к отметке в 92 сантиметра, мы увидим, что трехфазовая осцилляция также стабильна, поэтому, если h уменьшена, хаос, который появился когда h была увеличена, вновь не разовьется. И снова на узком диапазоне значений h динамическая систему имеет отличительные аттракторы с различными основаниями. Если вместо этого h увеличено, вновь произойдет удвоение периода, и снова возникнет хаос.

Рисунок 26. Вертикальное увеличение горизонтальной полоски в верхней части Рисунка 24, открывающее два периодичных окна необычной формы.

(В главное меню)