(В главное меню)

Глава 4

Столкновения с хаосом

Пролог

Одним из триумфов девятнадцатого века в области вычислительной математики стало открытие Нептуна. Если вы любите наслаждаться вечерним небом один на один с планетами, ощущая их присутствие, то знаете, что Нептун никогда не виден вооруженным взглядом. Он слишком далек для этого и малоразличим, и, не удивительно, что он кажется каким-то пятнистым в телескоп, но вы можете представить себе, как вычисление на компьютере проясняет картину. Трудно сказать где начинается история, поскольку каждое событие должно иметь предысторию, как больше событие было публикация «Принципов математики» Исаака Ньютона в 1686 году. Как только замечательные открытия Ньютона были сделаны, включая его законы движения и знаменитый закон гравитации, и стали общепризнаны и приняты, астрономы  смогли после этого написать системы уравнений, чье решение  должно было описать движение планет на их орбитах. Эти систему были особыми случаями в математике, в которых каждый из числовых объектов действовал согласно гравитационному притяжению между ними. Решение этих уравнений смогло доказать другие вещи.

Математики обычно не считают, что полностью решили систему дифференциальных уравнений пока они не напишут главное решение – комплекс формул, дающих значение каждой переменной в каждое время, проще говоря, пока не будет возможности узнать значения в некоторое начальное время. Например, рассмотрим бейсбольный мяч, только что отскочивший от биты. Решение уравнений, выражающих движение мяча достаточно просто найти. Формула содержит символ, скажем t. Представляющий время; чтобы найти положение мяча и его скорость в любой момент достаточно подставить нужное значение t в формулы и совершить некоторые арифметические операции.  Для тез моментов, когда мяч все еще в воздухе, комплекс положений сформирует параболу.

Более полным решением станет возможность вычисления положение мяча при любом ударе биты, удачный он был или нет, подлетел ли вверх или покатился по полю. Формулы будут содержать дополнительные символы, представляющие положение и скорость мяча в тот самый момент, когда он отделяется от биты.

Конечно это все то, что должно случиться, если не вводится сопротивление воздуха. Любой гольфист, который попадал мячом в лесные заросли знает, что мячи для гольфа не летают по параболе, и, в меньшей степени это справедливо для бейсболистов. Действительно, даже кривизна земной поверхности и вращение земли будут препятствовать точной параболической траектории. Уравнения – это только модели, а модель бейсбольного и гольф мячей могут двигаться вдоль парабол.

Когда нам не слишком везет в поиске главного решения для какой-то системы, то можем обратиться к числовой процедуре. Мы можем, например, начать с начальных значений переменных, а поскольку дифференциальные уравнения действительной формулы, которые говорят нам, в терминах настоящих значений всех возможностей, как быстро изменяются значения, мы можем продвинуться в решении вперед небольшими шажками, пока не достигнем желаемого времени. Процедура обладает огромным преимуществом, которое часто дает превосходное приближение, когда другие методы не дают ничего. Но у него есть и недостаток, что когда бы мы ни захотели решить ее с другими начальными состояниями или новыми постоянными, то должны будем выполнить вычисления заново. Чистые математики не слишком хорошо относятся к числовым методам, а их отношение простирается на использование компьютеров еще с тех времен, когда компьютеры были новинкой.

Астроному восемнадцатого века имели некоторые сложности с поиском главного решения для проблемы двух тел. Тела двигались по эллиптическим орбитам, которые имел общий фокус в комбинированных центрах их масс. Когда два тела - это солнце и планета, солнце имеет намного большую массу, чей фокус лежит ниже поверхности солнца, а планета берет на себе значительную часть движения.

Когда теоретические решения были сравнены с реальными наблюдениями, скажем Юпитера, там было хорошее совпадение, но расхождения, даже совсем небольшие, были настолько большие, чтобы их списать на ошибки в наблюдении. Очевидное предположение было в том, что  расхождения были спровоцированы влиянием гравитации других планет, в данном случае Сатурнаа и Юпитера.  Таким образом, проблема трех тел выходит на сцену. В этом случае все попытки найти главное решение провалились. В ссвое время астрономы развили метод пертурбаций, который позволил  им использовать решение для двух тел для солнца и одной планет как первое приближение, а затем, ввели пертурбационное влияние второй планеты, как корректирующий элемент. Пертурбации между несколькоими планетами могут также решаться подобным образом.

Для большинства планет метод виртуально убирает отличие между наблюдением и теорией, но в случае Урана, все еще были несоответствия, которые вносили в ожидаемые результаты наблюдательскую ошибку, которая в девятнадцатом веке была относительно небольшой. Постепенно астрономы повернулись лицом к идете, что это может быть результатом  от гравитационного толчка  еще неоткрытой планеты.

В качестве конкурентной идеи и независимо друг от друга, некий Джон С. Адамс в Англикии и Урбан Джей Джей ЛеВерьер во Франции решили подойти к представленной задачи изобретения метода пертурбации; вместо вычисления пертурбации, представленному по известному движению планет по известной орбите, они задались вопросом, насколько большая планета в которой орбита может создать известную пертурбацию. В 1846 году после многомесячной работы и с расхождением в несколько дней между собой            , они смогли вычислить текущие позиции с расхождением всего в несколько градусов. Открытие Ле Верьера было подтверждено в Берлинской обсерватории и обнаружило планету в предсказанной точке с расхождением всего на один градус от предсказанного.

Такой успех вычислений не остановил математиков и астрономов от продолжения поисков  главного решения для проблемы трех тел. По аналогии с проблемой двух тел кажется разумным, что решение было рядом, просто ждало своего времени, чтобы быть открытым. Хаотичное поведение, которое не может быть обычно описано формулами в которых значения времени могут быть указаны, не было частью математики, которую они изучали, или в некоторых моментах создания.

Что я хочу сделать в этой главе, так это представить некоторые мизансцены, из которых выросла драма осознавания хаоса, от времени открытия Нептуна , когда еще не было осознанности о нем вообще, до времени почти полтора века спустя, когда стало очевидно, что хаос присутствует практически повсеместно. Конечно, я не предполагаю, что идея очень малых событий может привести к главным событиям в нашей жизни или недавним мировым делам. Для знакомых немного со стихом, который начинается «Получил гвоздь, потерял ботинок», а дальше все развивается по стиху, упоминается лошадь, всадник, война, королевство, все это не творение двадцатого века. В чем нельзя заподозрить середину девятнадцатого века, это то, что был феномен относительно не комплексных законов , часто выражающихся как детерминистические математические уравнения,  не обладающие поведением в предсказуемой манере, когда законы или уравнения могут вести к предполагаемому результату.

 Я не пытаюсь рассказать полную или неопровержимую историю – ни место, ни мои знания просто не позволят этого сделать – а также я не смогу упомянуть всех, кто внес свой вклад в тему, а также их конкретные заслуги. Вместо этого я представляю личный и частично автобиографичный опыт, предлагая мой собственный анализ некоторых ранних поисков и обсуждения некоторых из более недавних вещей в терминами, как я сам изначально их узнал или в какой последовательности они оказали на меня влияние. Я должен посвятить заметное место – больше, чем требует здравый смысл и сбалансированность книги – обстоятельствам, ведущим к моим собственным поискам и открытиям. Я надеюсь, тем не менее, оставить моих читателей с полноценным представлением того, как хаос трансформируется от едва распознаваемого феномена в нечто большое и значимое.

Опознание

Около тридцати лет спустя после открытия Нептуна, когда проблема трех тел казалась не ближе к решению, чем ранее, американский астроном и математик Джордж Вильям Хилл рассмотрел очень особый случай. Хилл уже имел разработки в новых определениях планетарных орбит, и он должен был вернуться назад, чтобы заняться интенсивными компьютерными вычислениями, часто до пятнадцати определенных мест. Но теперь он представил три упрощения: первое, одно из трех тел обладает ничтожно малой массой, так что остальные два тела не подвергались влиянию первого, и следовательно, можно было удовлетвориться решением уравнения для проблемы двух тел; второе, большие тела двигаются вокруг общего центра в большей степени по кругу, а не по эллипсам; и третье, и возможно самое главное, все три тела двигаются на одной плоскости.  Таким образом мы уменьшили  проблему до системы четырех уравнений, с четырьмя переменными, представляющими положение малого тела и скорость на плоскости. Уравнения получились достаточно простые, но они все еще не давали главного решения.

С сегодняшними компьютерами достаточно просто получить частные решения. Рисунок 35 показывает пару возможных орбит для небольшого тела, которое мы можем назвать спутником, начинающихся из близких точек с равными скоростями. Система координат, в которой они показывают вращение с большими телами, которые мы можем назвать планетами. В ней одна из координатных осей, скажем ось х, всегда параллельная линии объединения планет, в то время как другие оси всегда перпендикулярны, поэтому на одном рисунке занимают фиксированные положения на оси х.

Рисунок 35. Две возможные орбиты спутника, стартующего из почти идентичных состояний, как дано в числовом решении Хилла при упрощении уравнений, которое длилось два года. Координаты, из которых спутник виден во вращении, как это делают планеты, которые расположены в точке 0,2 влево и 0,8 вправо от исходной точки, и в которой все указано стационарными точками.

В этом примере, планеты слева имеет вчетверо большую массу, чем та, что справа. Орбиты первой петли в несколько раз больше меньшей планеты, оставаясь близко друг к другу, а затем переключающихся на большую, отклоняясь так, как они делают в реале. Спустя два года, когда они достигают положения, указанного стрелками, они разделяются на большое расстояние. В данном случае «год» означает время, необходимое планетам, чтобы сделать одно обращение вокруг собственных центров масс, которое только одна пятая пути от большой к малой планете. Продолжение бы показало две орбиты обращающиеся между планетами, а к будущему расстоянию во времени они были бы  в виде петель вокруг различны планет вокруг тоже время. Ясно, что поведение хаотично, но, как и во многих гамильтоновских системах, другие выбора начальных состояний должны бы вести к регулярному поведению, с орбитами, закручивающимися в петлю периодически около одной или другой планеты. Рисунок 36 представляет график на оси х, расстояние спутника влево или вправо от центра масс, для одной из хаотичных орбит, продевающихся до двадцати лет. Нерегулярное обращение между планетами очевидно.

Рисунок 36. Одна из орбит на Рисунке 35 на протяжении двадцати  лет. Вертикальная координата в данном случае соответствует горизонтальной координате на рисунке 35. Верхняя кривая показывает первые десять лез, как указано на шкале в основании, а нижняя кривая показывает остальные десять лет. Горизонтальными линиями показано положение планет.

Довольно трудно представить себе, что Хилл, представивший так много вычислений орбит, не мог бы создать нечто подобное Рисунку 35 за несколько месяцев или менее, если бы захотел. Он достаточно знал об уравнениях, чтобы выбрать нужные, и с первой попытка начальное состояние двигало бы спутник между планетами, без убегания в бесконечность.  А вот то, что он вероятно не знал, так это то, что на одиночной орбите последовательные петли одной или другой планеты предстали бы в форме нерегулярной последовательности. В любом случае, он был более заинтересован в реальных случаях, когда тремя телами были солнце, земля и луна или Сатурн, Титан и Гиперион, и он знал, что луна не колеблется между землей и солнцем.

Система уравнений Хилла может быть решена многими способами – в числовом виде. Очевидно, что решения, создавшие кривые на Рисунке 35, являются типичными. В своей работе «Бог играет в кости?» Ян Стюарт представил более  сходную кривую для случая, когда две планеты имеют равные массы.

Проблема с тремя телами и в частичное решение меньшей проблемы Хилла, быстро захватило воображение великого французского математика Пуанкаре, родившегося немногим позднее того, как был открыт Нептун. Подобно своим предшественникам, он потерпел неудачу в решении уравнений, но тем не менее, ему удалось как никому другому приблизиться к решению. Он доказал, что уравнения просто нерешаемы. Конечно, уравнения имеют общее решение, но не одно, как нам может показаться.

Пуанкаре не смог получить свой удивительный результат быстро, и, действительно, он посвятил этой задаче многие годы. Обнаружив, что количественное решение ускользает от него, он отошел от тех способов, которыми пользовались его предшественники, вернувшись к качественным методам. Он рассмотрел более общие системы уравнений, чем те, что представляли уменьшенную проблему трех тел и при разработке их свойств по сути положил начало теории динамических систем.

Для решения системы из n уравнений – для уменьшенной проблемы Хилла, где n равно 4 – он начал с представления фазового пространства. Это гипотетическое n-мерное пространство в котором каждое состояние системы представлено одной точкой, а частное решение появляется в виде особых кривых – кривых решения, которые сегодня в основном называются орбитами. Затем он представил концепцию поверхности участка, сегодня называемого участком Пуанкаре – n(n-1)-мерное множество, внедренное в фазовое пространство и пересекающее кривые решения. В качестве простого примера можно преставить себе множество точек, в котором каждая из n-переменных, скажем первая, допускает определенное значения, скажем ноль.

Как мы заметили во второй главе, точка, где кривая решения пересекает поверхность участка, полностью определяет оставшуюся кривую, включая точку, где кривая и далее пересекает поверхность.

Таким образом, вместо того, чтобы изучать свойства целых кривых, можно сосредоточиться на последовательности пересечений. Поверхность участки имеет две стороны, которые мы можем представить себе, как красную и голубая. И чаще мы можем заметить пересечения в которых кривая пересекает их в одном направлении, скажем, от красной стороны к голубой, в то же время как обратное пересечение не регистрируется приборами. Простая периодическая орбита, как окружность или эллипс, будут пересекать участок в одной точке – фиксированной точке – в то время, как более комплексные периодические орбиты могут пересекать его в нескольких точках, прежде чем вернуться к началу и повторить цикл.

Пуанкаре заметил, что решение возможно и он назвал это асимптотой, то есть асимптотическим решением кривой, когда она все больше и больше становится периодической с ходом времени, так что последовательность пересечений с поверхностью участка сходится в фиксированной точке. Другие решения могут быть асимптотическими, если направление времени обратно. В этом случае последовательности пересечений могут проявляться из фиксированных точек. В итоге, могут быть сомнительные асимптотические решения, в которых асимптота развивается в обоих направлениях времени. Последовательность проявления из фиксированной точки и последовательность, сходящаяся в той же фиксированной точки, называется гомоцикличной, и сама по себе является фиксированной точкой. Пуанкаре продемонстрировал, что присутствие гомоцикличной точки подразумевает существование бесконечных периодических последовательностей, которые не периодичны. То, что он открыл посредством качественных математических измерений, и было хаосом, по крайней мере в ограниченном смысле слова.

Распознал ли он феномен полного хаоса, где большинство решений – а не только отдельные случаи – ощутимо зависят от ряда причин и не обладают периодичностью?  Он не описал свои непериодические решения, как ощутимо зависимые, но при этом вполне осознавал феномен чувствительной зависимости, что отражается в одном из его частых выражений, «Невозможно предсказать поведение…».

Данная цитата происходит из одного из его многочисленных философских трудов – эссе о шансе. Любой, кто не знаком с работой Пуанкаре, столкнувшись с ней, непременно признает автора глубоким мыслителем и плодотворным писателем, но при этом даже не подумает, что он был математиком, возможно одним из величайших в его дни. В эссе он поднимает вопрос возможности того, что мы привыкли называть шансом или случайностью, как возможность во многих случаях, которая возникает по какой-то очень малой причине, нами даже не отслеживаемой. Он заметил, что в некоторых случаях мы вообще не можем полностью определить то самое предшествующее состояние, в то время как другие мы наблюдаем достаточно точно, но не идеально. В более позднем случае неопределенность может увеличиваться и даже начать доминировать. Неужели он описывал хаотичное поведение?

Ответ на этот вопрос невозможно дать точно. После некоторых вступительных обсуждений, он проанализировал четыре примера. Сперва основной феномен нестабильного равновесия, которое он описал на примере конуса, стоящего на своей вершине. Теоретически существует такое положение нестабильного равновесия, в котором конус может оставаться в стоячем положении, но, как и с установкой карандаша или любой медленно двигающейся острой поверхности, мельчайшее беспокойство становится причиной падения. Если это беспокойство слишком мало для наблюдения, то мы не можем с уверенностью сказать, в каком именно направлении упадет конус. И здесь мы сталкиваемся с тем, что предсказание становится невозможным.

Возможно, в этой стадии мы не можем говорить о полном хаосе. Во время падения конус находится в подвижном состоянии. После того, как связанные с этим эффекты спадают, конус будет просто лежать на боку, в состоянии стабильного равновесий, и не будет дальше проявлять случайного поведений. Будет логично предположить, что он обретет состояние покоя в своем положении, а ново незаметное беспокойство не внесет существенных искажений для нашего предположения.

Во втором примере Пуанкаре взял погоду. И здесь он утверждал, что «Мы наблюдаем великие беспокойства, начавшиеся в основном в регионах, где атмосфера находится в нестабильном равновесии. Метеорологам прекрасно известно, что равновесие нестабильно, что собирается образоваться циклон, но бессильны сказать точно, где это произойдет». Ученый не углублялся сильно в метеорологическую теорию и вместе с тем смог отразить в целом главные идеи ведущих метеорологов его времени. Наши представления сегодня несколько отличны от этих – мы можем распознать реальную нестабильность, но в основном на моделях  - однако, были или нет его метеорологические предположения верными, этот феномен еще не представляет собой сложносоставного хаоса. Это имеет отношение к тому, как мы можем узнать, представлял ли он хаос; если его атмосфера отличалась от наших, мы не можем утверждать, что наша ведет себя хаотично.

То, что развивается как циклон, может в любой момент пойти на убыль вопреки всем предсказаниям, так что предположения, сделанные до спада, а для погоды это может быть любой момент, будут скорее всего неудачными, или неточными. Мы можем предположить, что начнется шторм, как только вернется определенная погода, но получается, что точными наши предположения могут быть только если шторм уже начался? Ученый не отвечает на этот вопрос и в двух других своих примерах – распределение астероидов среди звезд и шансы игры в рулетку – не дает точного определения.

Однако он всего лишь рассуждает. В дальнейшем в своей работе он описывает второй феномен, который напрямую связан с присутствием неопределенности, и который он иллюстрирует, рассматривая движение отдельных молекул в газе и их взаимных влияний друг на друга. Здесь он утверждает, «И это еще не все. Как мы видели, достаточно отклонить молекулу до толчка на бесконечно малое расстояние, чтобы она после толчка отклонилась на конечное расстояние. Поэтому, если бы молекула подверглась двум последовательным столкновениям, то ей достаточно было бы сообщить до первого толчка бесконечно малое уклонение второго порядка , чтобы мы получили после первого столкновения бесконечно малое уклонение первого порядка, а после второго – конечное».

Процесс в какой-то мере напоминает пинбольную машину, за исключением того, что каждая молекула сталкивается с другой движущейся молекулой, а не фиксированными штырьками машины. Пуанкаре, действительно, распознал системы, где неопределенность будет оставаться после того как события, которые ее запустили уже в прошлом, и из этого можно заключить, что он возможность предсказания покоя после шторма также нельзя предсказать, как и сам шторм.

Однако в своем эссе он не упоминает проблему трех тел, ни свой прогрессивный способ ее решения.  Тем не менее, мы остаемся с чувством, что поймали хаос за хвост, поскольку он заключен в тех уравнениях, с которыми ученый работал так тщательно.

В забвени

Это случилось в далеком 1975 году, когда Ли и Йорк опубликовали свою так часто цитируемую статью «Три Лика Хаоса». Каких бы целей они не преследовали, но у них получилось как минимум дать миру новый научный термин, хотя и с несколько иным значением, чем то, что было изначально.

Тот же год научный мир максимально приблизился к тому, что можно назвать «взрывом» научного интереса к хаосу. И это вряд ли просто совпадение. Подобно известной розе Джульетты, хаос в любом другом обличии, под любыми другими названиями пах бы также. Некоторые из них даже не могут найти подходящее название. В моей собственной работе я в основном избегал термина «нерегулярность» с 1983 года. Вскоре после взрыва научного интереса, который заложил основу публичному интересу, уже потребовались четко обозначенные термины.

С тех пор как Пуанкаре заложил основы теории динамических систем в девятнадцатом веке, и продемонстрировал некие системы хаотичного поведения, по крайней мере в ограниченном смысле слова, может показаться странным, почему взрыв интереса ждал целых шестьдесят лет, чтобы в 1912 сойти на нет. Любое объяснение здесь будет только догадкой, хотя наверняка здесь сработало два фактора.

Одним из них было отношение к нерегулярности. Пуанкаре не искал хаоса. Он хотел понять движение небесных тел, а обнаружил хаос. Для него это важнее было решение комплексной системы трех тел, чем найти себе основную тему для будущего поля исследований.

Последователь Пуанкаре, Джордж Дэвид Биркофф, написавший замечательную монографию под заголовком «Динамические системы», что случилось спустя 15 лет после смерти Пуанкаре. Биркофф был первым выдающимся математиком, получившим формальное образование в Соединенных Штатах, и дал существенный толчок в развитии американской математики. Но, несмотря на это, некоторые из его коллег привыкли говорить о том, что его реальным учителем был Пуанкаре.

Биркофф имел дело с очень особыми системами уравнений. Он доказал некоторые из утверждений Пуанкаре. Он рассматривал концепцию множества центральных решений, которые для гамильтонинанских уравнений небесной механики, становится множеством всех решений, но которые для многих сходных диссипативных систем становятся аттрактором. И самое главное, он дал периодические решения высшего порядка.

И до сих пор он все занимался вплотную нерегулярностью. Подобно Пуанкаре, он определил динамические системы, как управляемые различные уравнениями – потоками – но, как мы можем видеть, течения уменьшаются до маппинга, когда все фазовое пространство целиком замещается одной частью поверхности Пуанкаре.  Неожиданно для себя он пришел к изучению маппинга, и соответствующей статье, где он рассматривал определенный класс двумерных маппингов, в которых множество аттракторов содержал бы близкую кривую – она представлена в форме кольца на внутренней зоне и отделяющей ее от внешней. Он заметил, что некоторые маппинги могли бы иметь определенные точки в одном направлении вокруг кольца, тогда как другие в обратном направлении. И отсюда он заключил, что близкая кривая должна удваивать саму себя бесконечное число раз. Для некоторых маппингов кривые были аттракторами и странными аттракторами также.

Рисунок 37. Аттрактирующее множество для маппинга Пуанкаре санок на снежном склоне, когда холмы высотой в 1 метр над ямами; множество также является аттрактором. Здесь используется та же координатная система, что и на Рисунке 13.

Чтобы увидеть одну из кривых, о которых было известно Биркоффу, но какую он никогда не видел, нам нужно взглянуть на все тот же снежный склон. Санки, двигающиеся постоянно на юго-восток и те, что двигаются постоянно на юго-запад, соответствуют точкам на аттракции множества, которое перемещается в противоположных кольцу направлениях. Рисунки 37 и 37 дают нам два примера. Первая кривая одна из тех, что показаны на Рисунке 11, где холм возвышается на 1 метр над ямой; графически он отличен от аттрактора, показанного в отличной системе координат на Рисунке 12 и 13. Второй пример сходен с тем, что мы получили на Рисунке 18, где холмы имеют только половину своей высоты; здесь аттрактор состоит только из двух точек на кривой, а хаос ограничен.

Рисунок 38. Тот же самое, что на Рисунке 37, когда холм всего 50 см над ямой; каждый из двух аттракторов состоит из одного множества точек.

Биркофф не предложил особого множества уравнений для своих кривых, но в 1945 году, после его смерти, Мэри Кэтрайт и Джон Литлвуд из Кембриджского Университета изучили теоретическое поведение периодически усиленной диссипативной системы. Или так называемый осциллятор ван дер Пола. И они представили уравнение в своей статье , «О нелинейных дифференциальных уравнениях второго порядка. I Уравнение , ге к Большая.» Они обнаружили, что при некоторых условиях система имеет два стабильных периодических решения с различными периодами, и на этом основании они установили, что одним из их инвариантов кривых была «плохая кривая» Биркоффа. Таким было отношение, превалирующее над кривыми, чье существование Биркофф вычислил, даже не смотря на то, что сам он называл их «замечательными.

Рисунок 39. Участок Пуанкаре аттрактора Кэтрайт-Литтлвуд.

Тем не менее они не отказались от своей кривой, и идентифицировали первое известное дифференциальное уравнение, которое привело к «плохому» множеству аттракторов, и следовательно за исключением некоторых гамильтонианских система без аттракционных множеств, первое создает как минимум ограниченных хаос. Константы в системе показаны в заглавии статьи, а Рисунок 39 иллюстрирует участок Пуанкаре аттрактора, для редких выбранных значений констант, которые ведут к полному хаосу; таким образом на рисунке показан странный аттрактор. А так как это не слишком захватывающе, вездесущее множество параллельных сегментов близко упакованы так, что даже существенное увеличение не разъединит их. Только присутствие ощутимой зависимости открывает, что аттрактор может быть странным.

Кто-то может поспорить, что отсутствие раннего интереса к теме не привел к угасанию темы; скорее это было просто отсутствие интереса. В некотором смысле это правда, и даже возможно потому, что ведущие специалисты занимались совсем другими вещами. Одним из быстрейших способов для молодого ученого получить признание и выиграть какую-нибудь премию, это решить проблему, которая стала хорошо известна потому, что ведущие специалисты в прошлом столкнулись с ней и не смогли решить. Кто-то в поисках такого признания вряд ли пойдет по совершенно новому пути, даже несмотря на то, что история показывает, что неисследованные области иногда содержат ключ к решению старых проблем. Конечно, Пуанкаре и Биркофф и многие другие ведущие ученые даже не предполагали, что проблема в будущем коснется теории хаоса.

Однако хаос не мог оставаться в Лимбо (в забвении – прим. перев.) вечно. Решительные сдвиги появились, когда пятидесятые дали дорогу шестидесятым. Это особенно хорошо видно в работе такого математика, как Стивен Смейл, создателя прославленной лошадиной подковы.

Лошадиная подкова – это двухмерный маппинг. Чтобы сформулировать это понятие, представьте, что вы берете квадрат в фазовом пространстве, сжимаете его по вертикали и растягиваете по горизонтали, а затем скручиваете в форму похожу на лошадиную подкову, и кладете ее на прежнее место. Вы можете сделать это множество раз, но крайние значения лошадиной подковы должны проецироваться со сторон квадрата, которые был сжат, а не с тех, что были растянуты. Каждая точка оригинального квадрата будет сдвинута в точку в лошадиной подкове, но не обязательно в точку внутри самого квадрата. Точки, которые будут оставаться внутри квадрата вечно по мере повторения процедуры, вперед и назад, формируют инвариантное множество, а Смейл показал, что внутри этого множества, не смотря на особую форму лошадиной подковы, существует хаос; большинство последовательностей повторений не периодично. Следовательно, внутри целостной системы есть по крайней мере ограниченный хаос. Является или нет такое множество аттрактором, и следовательно есть там или нет полный хаос, зависит от того, что происходит в точках после того, как они покидают квадрат, и в частности от того, войдут ли они в множество после дальнейшего повторения.

Рисунок 40. Квадрат и область в которой он дает особый маппинг. Мапинг дает нам внутреннюю поверхность квадрата, показанную на Рисунке 41 в виде области лошадиной подковы, которую он пересекает.

Иногда лошадиная подкова может быть открыта внутри маппинга, который полностью может не быть подчинен лошадиной подкове. Данную ситуацию иллюстрирует Рисунок 40. Маппинг завершен, взяв квадрат и повернув его на четверть по часовой стрелке, немного сжав по вертикали. А затем он сжат по горизонтали так, что получилась искаженная область внутри него. Этот маппинг дает нам небольшую внутреннюю кривую, известную по Рисунку 41, где показано пересечение с квадратом.

Рисунок 41. Маппинг лошадиной подковы, см. Рисунок 40.

Какой бы ни была природа хаоса, Смейла заинтересовали как «плохая», так и «хорошая» кривая. Более комплексно в нем возник интерес в возможности системы с по меньшей мере с некоторой нерегулярностью, часто без четкого осознания, являются ли комплексные решения нерегулярными. Для математика, ограниченный хаос может быть прекрасным проявлением полного хаоса; это ведет нас к той же прекрасно известной форме – наблюдаемой на Рисунке 38 – даже несмотря на то, что они могут не иметь аттракторов, а для специфических систем его существование может устанавливаться чаще, чем может быть получено доказательство установившегося полного хаоса. Даже для исследующих материальные системы, существует большая разница между ограниченным и полным хаосом, поскольку первый нельзя будет наблюдать. Если потенциальный хаос в сердцебиении не более чем ограниченный, мы бы не волновались об аритмиях. Если бы земная погодная система создавалась только ограниченным хаосом, погода должна была бы также предсказуема, как если бы хаоса не было вообще.

Несколько лет спустя Смейл написал статью под названием «Дифференцируемые динамические системы», которая стала успешным продолжением исканий Биркоффа. Однако он отделяется от традиционного представления тем, что определяет динамические системы в терминах дифференциальных уравнений – маппинга – и он отмечает значительное упрощение последующего. Он включает обсуждение лошадиной подковы и представляет теперь уже знакомый маппинг в трех измерениях из десяти названный соленоидной картой. Является или нет частью аттрактора странное множество, созданное лошадиной подковой, соленоид недвусмысленно создает странный аттрактор. Он представляет собой бесконечный провод, свернутый внутри трубы, но поперечное сечение такое, какое мы никогда ранее не видели. Нет двух соединенных точек, хотя  на примере Рисунка 42, некоторые из них кажутся соединенными, поскольку они настолько близко друг к другу, что из распечатки являют собой точки.

Каким бы ни было влияние раннего отношения на иррегулярность, самый большой фактор во времена вспышки интереса к хаосу был – появление компьютеров. Работы таких людей как Бирков в докомпьютерную. Эру, и Смейла, когда компьютеры заняли привычное место, ясно показывает , что теория некоторых аспектов хаоса может быть разработана просто с ручкой и бумагой. Демонстрация хаотических решений специфических систему уравнений и создание аккомпанирующих странных аттракторов требует кое-чего больше. Давайте для примера рассмотрим мою собственную работу.

Сначала рассмотрим математически сгенерированный хаос с помощью примера погодной системы земли, но не с тысячами или миллионными переменными, а всего с двенадцатью. Решить такую систему вручную вполне реально, как показывают астрономы восемнадцатого и девятнадцатого века, вычисляющие орбиты планет. После принятия моей модели, я вполне могу, отстранившись от другой профессиональной деятельности, высчитать непериодическое решение вручную за месяц или два – время, сравнимое с тем, что мне потребуется для того, чтобы описать результаты работы. Неимение компьютера более чем вдвое усложнило бы мою задачу. Все потому, что сначала я бы даже не знал, какие значения констант приведут к хаосу, а также есть ли эти значения вообще, и должен был бы сделать множество попыток, прежде чем нашел то, что работает. Прежде чем остановиться на двенадцатиричной системе, я безуспешно экспериментировал с другими системами уравнений. Без компьютера потребность во времени для вычислений может возрасти до лет вместо месяцев, а это вместе с остальными проблемами, занимающими значительную часть моего времени, и возможно я бы никогда так и не закончил. Даже если бы я был таким счастливчиком, что берут верное направление с самого начала, определил все множество решений и сделал на их основе множество иллюстраций, подобных тем, что в этой книге, все равно это крайне редкое явление. Поэтому я уверен, что любой, кто может решить непериодические дифференциальные уравнения вручную, встретится с подобными проблемами.

Рисунок 42. Поперечное пересечение аттрактора соленоида в трех измерения маппинга, сравнимо с поперечным сечением трубы, в которой он находится.

Отсюда уже можно заключить, что поскольку нас окружают компьютеры, их вклад в растущие знания хаоса, простираются намного дальше простого их приложения к нерешаемым уравнениям, поднимающим особые проблемы перед отдельными учеными.  Как только определенное число исследователей публикует свои решения в открытой литературе, другие ученые могут различить в них определенные точки, которых ранее не касались, что доказывает бесполезность их усилий. Это дает новый стимул к исследованиям, приходят новые исследователи уравнений всех видов. Внезапно странные аттракторы, которые ранее иногда появлялись, объединяются с другими, что дает уравнения, которые не имеют никакого отношения к особым физическим проблемам, но ими приходится заниматься.

Поиски

А здесь я бы хотело описать обстоятельства того, как меня самого увлекло исследование хаоса. Я вспомню некоторые основные события, но мои ранние или более поздние отсылки будут иметь некоторую степень предположений. Началось все в Департаменте Метеорологии Массачусетского Технологического Института, тогда известного как Бостонских Техникум. Но сейчас его в основном называют МТИ. Я занимался своей работой с 1948 года и главным образом интересовался динамическими атмосферными структурами глобального и континентального размера.

Как и любой студент, я думал, что динамические уравнения определяют все, что происходит в атмосфере. Однако, по мере того, как я сильнее углублялся в числовое погодное предсказание, мне становилось очевидно, что эти уравнения не могут предсказать любое атмосферное состояние, реалистичное или нереалистичное, от начального состояния и далее. Возможно я ощутил, что различные решения уравнений все стремятся к одной системе – реалистичной системе. Я даже произвел некоторые безуспешные попытки найти формулы для этого множества, и уже был готов бросить свои усилия. В свете сегодняшнего знания можно сказать, что я искал аттрактор, и был прав веря в то, что он существует. Однако ошибался в том, что его можно описать в нескольких формулах.

Шло время и в мире наступил 1955 год, когда Томас Малоун ушел с нашего факультета, чтобы стать главной нового погодно-исследовательского центра в Трэвелер Инщуренс в Хартфорде, Коннектикут. Том направил усилия на статическое погодное предсказания, поле, где было достаточно много приверженцев еще на заре компьютерной эры.

С философской точки зрения статистическое предсказание больше похоже на работу синоптика, чем на динамическое предсказание, поскольку основано на наблюдениях, которые произошли в прошлом, а не на физических принципах. Это подобно динамическому предсказанию, в котором используются значения погодных элементов в особых расположениях, а не идентификация синоптической структуры. Статистическое предсказание получило большее внимание как «линейное» предсказание, где например, завтрашняя температура в Нью-Йорке может быть предсказуемой константой a, плюс другая константа b, сегодняшняя температура в Чикаго, плюс другая константа с, количество вчерашней относительной влажности в Сент Луисе, плюс другие сходные вещи.

Далее последовали длительные математические процедуры для установления оптимальных значений констант a, b, c и так далее. И, действительно, единственная возможность для метеоролога использовать любое знание атмосферы было бы в выборе предсказаний – элементы погоды множились бы константами. Усилия по вычислению определенной формулы множились бы стремительно с количеством предсказаний, а с числовой точки зрения предсказание погоды стало более надежным только когда компьютеры стали доступнее. Метод использовался многими динамическими метеорологами, особенно теми, кто был наиболее успешен в числовом предсказании погоды, однако даже они не могли понять, почему атмосфера ведет себя так, как ведет.

Я был назначен на место Тома, когда тот ушел и вместе с его работой унаследовал этот проект. В течение следующего года я проверил множество статистически полученных формул и в итоге убедил себя, что единственное, что делает статистический метод, это попытка дублирования, по числовым причинам, того, что предшествующие синоптики делали многие годы – перемещали каждую структуру при скорости где-то между предыдущей скоростью и обычной. Таблицы однодневного прогнозирования были решительно неудачны, хотя метод был и все еще работал при определении того, как определять локальное поведение погоды, тем более, что прогностическая таблица была доступной.

Не нужно говорить о том, что многие приверженцы статистического предсказания не согласились с моими находками. Возможно они смотрели на меня, как на лазутчика из лагеря числового предсказания погоды. В частности, некоторые из них ссылались на недавнюю статью знаменитого Норберта Виннеа, которая показывала, что линейные процедуры могут выполняться также хорошо, как и остальные, и также необходимы, как числовое предсказание погоды или синоптический прогноз. Я обнаружил, что с этим заключением трудно согласиться, и убедил себя, хотя и не других, что утверждения Виннера, которые были определенно корректными, хоть и написаны трудным языком, просто не правильно интерпретировали. На встрече в Мэдисоне, штат Висконсин, в 1956 году, посвященной съезду синоптиков, я предложил проверить гипотезу, выбрав системы уравнений, которые были определенно нелинейного типа. Я использовал компьютер для генерирования длинного числового решения, а затем, рассмотрел решение так, словно это была реальная информация о погоде. Я использовал стандартные процедуры для определения множества оптимальных линейных предсказательных формул. Если бы эти формулы подходили к любой другой предсказательной схеме, они должны были также идеально работать и выдавать информацию, если бы были повторно запущены на компьютере.

Моей первоочередной задачей было выбрать подходящую систему уравнений. Я действовал, как профессиональный метеоролог и математик любитель в одном. Несмотря на то, что в принципе работоспособными были многие системы, я надеялся выделить некоторые положительные стороны, выбрав множество уравнения, относящихся к поведению атмосферы. После некоторых экспериментов я решил, что лучше всего поработать с крайне упрощенной формой отфильтрованных уравнений числового погодного предсказания, что должно было уменьшить количество вероятностей от многих тысяч до того количества, с которым было бы удобно работать.

В один прекрасный день, Роберт Уайт, доктор наук в нашем департаменте, ставший главной Метеорологического Бюро США, и все еще возглавлявший эту организацию, предложил, чтобы я взял себе в офис небольшой компьютер. Если вы теряетесь в догадках, почему я этого еще не сделал, вспомните, что это было более чем за двадцать лет до того, как появились на рынке первые персональные компьютеры. Действительно, в те времена почти никто не слышал о персональных компьютерах, и эта мысль просто не пришла мне в голову. Мы потратили несколько месяцев, рассматривая  различные подходящие модели и в итоге остановились на Royal-McBee LGP-30, который по размеру напоминал большой стол и производил много шума. Он имел всего 4 килобайта памяти и был 32-битным, из которых треть резервировалась под стандартный ввод и вывод программ. Он умел производить вычисления за 17 миллисекунд и печатал большой список цифр примерно за 10 секунд. Даже в таких условиях, когда приходилось программировать и оптимизировать все под машинный язык, процесс пошел примерно в тысячу раз быстрее, чем на обычном настольном калькуляторе – карманные модели тогда еще не появились – и был идеальным решением для небольших систем уравнений.

Не удивительно, что во времена, когда компьютеры были далеки от совершенства, большинство ученых, включая и меня, не умели писать компьютерные программы. Я потратил несколько следующих месяцев на то, чтобы поближе познакомиться с компьютером. Но как только вернулся к упрощенным  метеорологическим уравнения, то использовал уже четырнадцать переменных. Позднее я сократил их число до тринадцати и затем до двенадцати.

Уравнения содержали несколько констант, которые описывали интенсивность и распределение внешнего нагревания, необходимого для движения миниатюрной модели атмосферы. Таким образом, если одно множество констант не годилось для решения, существовали еще несколько других для последующих попыток. Мои ранние попытки сгенерировать «информацию», производили «погоду», которая неизменно была устойчивой, что не годилось для моих исследований. После многочисленных экспериментов, я наконец нашел решение, которое безошибочно симулировало колебание, которое можно было наблюдать в лохани. Я яростно вернулся к процедуре, которая определяла лучшую линейную формулу, только что поняв, что возможно идеальным линейным предсказанием было бы просто предсказание, что каждая возможность должна иметь значение, которое предположительно запустило один колебательный цикл ранее. Затем я понял, что для моего теста необходимо множество уравнений, чьи решения были бы не периодичными. А вот то, что я даже не мог себе предположить в то время, так это то, что любое такое множество должно было бы показывать ощутимую зависимость.

К тому времени шел уже 1959 год. И хотя я уже стал частью сообщества статистических предсказателей, я сохранял свое положение динамиста, и планировал принять участие в симпозиуме числовых погодных предсказаний, который должен был состояться в следующем году в Токио. Я уже придумал даже заголовок для своего выступления, поскольку уже нашел подходящую систему уравнений и завершил мою проверку. Я назвал ее «Статистическое предсказание в решениях динамических уравнений».

Если бы я был знаком тогда с работой Пуанкаре в его небесной механике, то мог бы догадаться отойти от системы двенадцати уравнений и вернуться к четырем уравнениям Хилла, что уменьшило бы проблему, кроме того, что уже было известно, как решать непериодические уравнения, а это намного проще. Однако подобная догадка не пришла мне в голову, а ведь даже малейший намек на простейшие системы с не периодичными решениями, могли дать мне новый стимул продолжать собственные поиски. Однако я все еще ориентировался на возможные плюсы из моих собственных работ. Я ощущал потребность в работе с диссипативной системой. И поскольку, так оно и было, то продолжал проверять новые комбинации констант, и в итоге столкнулся с долгоживущим не периодичным поведением, после того как ввел переменную внешнего нагревания, как по долготе, так и по широте. Это как раз то, что происходит в реальной атмосфере, которая действительно получает значительную часть тепла прямо от солнца, благодаря лежащим под ней океанам и континентам, которые нагреваются. Континенты и океаны значительно отличаются по своей способности поглощать солнечную энергию, а также по способу передачи этого тепла атмосфере. Когда я применил стандартную процедуру к новой «информации», в результате линейные предсказания стали далекими от идеальных, и я заподозрил, что мои предположения подтвердились.

Решения показались мне очень даже интересными. Числовая процедура продвинутой погоды в шести-часовом приближении. Для чего я запрограммировал компьютер так, чтобы он печатал время, плюс значения двенадцати, тринадцати и четырнадцати переменных за один день или каждый четвертый шаг. Симуляция такого дня потребовала около одной минуты. Сжав числа в одну линию, я округлил их до десятых долей и не напечатал десятичные точки. После того, как я получил множество страниц чисел, то написал альтернативную программу вывода, которая производила только один или два символа на каждой лини, их расстояния от указанных значений из одной или двух выбранных переменных, и я должен был нарисовать продолжительную кривую по этим символам, чтобы создать график. Мне было интересно понаблюдать, как вытягивается график. Мы даже все вместе собирались иногда вокруг компьютера и делали небольшие ставки на то, что будет дальше, прямо как настоящие метеорологи, которые делают ставки на то, какой будет завтра реальная погода. Вскоре мы получили некоторые контрольные сигналы, характерные для особого поведения. Фактически мы стали достаточно профессиональными синоптиками, чтобы достоверно предсказывать погоду.

Рисунок 43. Пятнадцатимесячный участок оригинальной распечатки символов, представляющих два варианта модели двенадцати переменных. Сплошная кривая, прорисованная через все символы – это один вариант, а символы другой едва видны. Отрезок разбит на три пятимесячных сегмента для удобства.

На Рисунке 43 представлена копия пятнадцатимесячного затухающего оригинального выходного сигнала, поделенного для удобства на три пятимесячных отрезка.  Выбранный вариант приблизительно соответствует широте сильнейших западных ветров. Высокое значение показывает на низкую широту. Существуют показательные «эпизоды», в каждом из которых значение резко идет вверх, оставаясь в таком положении месяц или около того, и затем также резко падает, но эти эпизоды не идентичны и больше равны по длине, а их поведение удивительно не периодично.

В одной точке я решил повторить некоторые вычисления для проверки того, что может произойти при большей детализации. Я остановил компьютер, напечатал линию чисел, которые он напечатал ранее и снова запустил его. Затем я спустился вниз за чашечкой кофе и вернулся спустя час или около того, во время которого компьютер продолжал симулировать примерно двухмесячную погоду. Теперь напечатанные числа были не похожи на те, что были раньше. Я даже начал подозревать, что в компьютере что-то разладилось, однако прежде чем звать техника, решил посмотреть, где произошла ошибка, зная, что это ускорило бы процесс починки. Впрочем, вместо поломки я обнаружил новые значений, которые сначала повторяли старые, но вскоре они стали отличаться сначала на один, а потом на несколько единиц в десятом знаке, а затем изменились на те, что были в конце, а после – в начале. На самом деле, отличия более или менее устойчиво дублировались в размере каждые четыре часа или около того, пока все повторы с оригинального рисунка не исчезли где-то на второй месяц. Этого красноречиво говорило том, что числа, которые я напечатал не были в точности теми же, что в оригинале, но округленными значениями, чем те, что были в оригинальной распечатке. Ошибки в результате округления постоянно усиливались, пока не стали доминировать над  решением. Если прибегнуть к нынешней терминологии – это был хаос.

Меня как громом поразила мысль, что если реальная атмосфера ведет себя также, как простейшая модель, то долгосрочные предсказания просто невозможны. Температуры, ветры и другие качества, которые вводятся в сегодняшних измерениях для погоды, на самом деле не измеряют ее в точности до трех десятых, и даже если бы могли, то интерполяция между наблюдаемыми областями не была бы в точности похожей. Меня это настолько взволновало, что я потерял чуток времени на то, чтобы просто высказаться об этом кому-то из моих коллег.

А затем я понял, что усиление малых отличий, было причиной потери периодичности. Позднее, когда я представил свои результаты на токийской встрече, то добавил краткое описание неожиданного отклика уравнений на округленные ошибки.

Странный аттрактор

В 1971 году я принимал участие на встрече, посвященной турбулентности в Ла Холла, Калифорния. Там были несколько человек, давно изучающих этот вопрос и я более или менее ожидал услышать от них старые идеи. Но там был новичок – французский физик-математик Дэвид Руле – чей доклад был озаглавлен, как «Странные аттракторы как математическое объяснение турбулентности». Заглавие показалось мне странным, и я даже спросил коллегу, а не было ли это просто ошибочным переводом с французского. Он уверил меня, что это не так. И когда Руле выступал, на таком же беглом английском, как и у меня, я понял, что даже не смотря на то, что никогда не слышал о странном аттракторе, но уже видел его. Позвольте мне описать при каких обстоятельствах это произошло.

Речь Рулле состояла из обобщенных материалов статьи, которую Флорис Тэйкен опубликовала под заголовком «О природе турбулентности», в которой и было впервые упомянуто выражение «странный аттрактор», и в котором, подобно Смейлу, она рассматривала динамические системы, став одной из самых часто упоминаемых работ в области хаоса. В ней она использовала соленоидный маппинг – один из которых представлен на Рисунке 42 – в качестве иллюстрации, и затем описала турбулентное движение как «хаотичное».

На встрече в Токио, как и десять лет назад, я кратко упомянул неожиданное поведение модели из двенадцати переменных, но при этом почувствовал, что полное обсуждение отношения между спадом периодичности и ростом небольших отличий, а также невозможности долгосрочных предсказаний погоды, принадлежит теме отдельной статьи. Для нее я стал  использовать более упрощенную систему уравнений как основную иллюстрацию моего примера, в надежде, что смогу продемонстрировать в точности то,  что случилось. Я постарался упростить модель еще немного без потери ощутимой зависимости, но безрезультатно. В действительности был способ уменьшить ее до трех переменных, но до 1983 года я просто не знал как.

Мои поиски резко оборвались в один «прекрасный» полдень 1961 года, когда я нанес визит Барри Зальцману в Погодный Центр. Это было то самое место, где Том Малоун занимал свое место несколькими годами ранее. Барри показал мне систему из семи уравнений, которые решались числовым способом. Уравнения были немного похожи на мои, но они моделировали конвекционные потоки, созданные путем нагревания снизу, как может случиться над теплой поверхностью, вместо того, чтобы рассматривать глобальную атмосферную циркуляцию, которая двигается в основном за счет горизонтальной разницы в нагревании. Он заинтересовался в периодических решениях и определил большое число их, но он показал мне одно решение, которое отказывалось устаканиваться в числе других.

Я очень внимательно его рассмотрел и заметил, что четыре из семи вариантов вскоре становятся слишком маленькими. Это позволило предположить, что один из трех сдерживал остальные. И получалось, что система состояла только из трех переменных, показывая то же поведение. Барри дал мне зеленый свет и, вернувшись в MIT на следующее утро я заложил три уравнения в компьютер. И здесь, разумеется, была та же потеря периодичности, которую открыл Барри.  Здесь была та самая долгоиграющая система, в чьем существовании я уже начал сомневаться.

Мне повезло еще кое в чем. Существенной константой модели было число Прандтля – отношение вязкости жидкости к теплопроводности. Барри выбрал значение 10.0, имею ввиду магнитуду числа Прандлтя для воды. Как метеоролог он дол должен был бы выбрать модель конвекции воздуха, а не воды, а в этом случае он скорее всего использовал бы значение 1.0. С ним решения трех уравнений были бы периодичным, а, вероятно, никогда бы не увидел их, рассматривая свои семь.

Рисунок 44. Временные серии для переменной х из трехпеременной конвективной системы. Серии длиной в пятьдесят минут разбиты на два сегмента, показано рядами.

Три уравнения не описывают реальное конвекционное движение достаточно хорошо, но для моих целей этого и не требовалось. Соединенные вместе, как математическая абстракция, они демонстрировали простейшие способы в которых детерминистическая система может вести себя, если не собирается становиться периодичной. Рисунок 44 – это график одной из переменных во времени. Очевидно, что система тяготеет к возрастания осцилляции в одном состоянии, что в действительности отражает состояние нестабильного равновесия, до того как осцилляция становится слишком сильной. Если затем производится осцилляция еще одного нестабильного состояния, пока эти осцилляции становятся слишком сильными, после чего это продолжается альтернативно между двумя моделями поведения. Важное заключение, которое можно сделать глядя на этот рисунок, это то, что последовательные числа осцилляции близ одного или другого состояния происходят в нерегулярной последовательности. И действительно, поведение имеет что-то общее с качанием спутника между двумя планетами, что можно увидеть на Рисунке 36, и даже не смотря на то, что здесь нельзя написать множество формул для главного решения, как в случае со спутником, графическое решение остается, для выбранных значений констант, виртуально все может случиться.  А это практически полностью заменяет основное решение.

Я решил использовать систему, как иллюстративный пример в своем описании. Я чувствовать в то же время, что реально важной находкой было то, что при основных состояниях потеря периодичности указывает на ограниченные возможности предсказания, а не на открытие какой-то особой системы уравнений с непериодичными решениями. Я также чувствовал, и все еще чувствую, что общие систематические усилия, направленные на предсказания различных феноменов, в основном уходят на предсказания погоды: мировую систему наблюдений, и развитие моделей с пятью миллионами переменных. В любом случае я адресовал статью главным образом метеорологам, и смирился с тем, что отправил в журнал атмосферной науки, статью под названием «Детерминистическая турбулентность». Вскоре я сменил название на «Детерминистическое непериодическое течение», после того, как редактор, которого я знал очень хорошо – это был Норман Филлипс, создатель первой мировой модели циркуляции – убедил меня, что уравнения немного не годятся для того, чтобы ассоциировать их с турбулентностью.

Я также исполнил свое давнишнее желание, увидеть аттрактор. Я просто выбрал две из моих переменных в качестве координат на плоскости, и построил числовые значение третьей переменной, кроме точек, которые я построил, поскольку давно работал с такими координатами, как долгота и широта на карте, то построил кривую давления. Затем я нарисовал контуры третьей переменной, также как я часто рисовал изобары, за исключением того, что процедура была немного более комплексной, поскольку образовалось два различных множества контуров над частью плоскости, что указывало на то, что аттрактор состоит из двух различных поверхностей, одна над другой. Как только один появлялся на орбите, другой стремился к основанию рисунка.

Рисунок 45. Оригинальное изображение аттрактора в системе трех переменных. Если взять переменные y и z как координаты, можно нарисовать контуры переменной х.  Там, где имеются два допустимых значения х, контуры для нижнего значения отмечены многоточием. Рисунок воспроизведен с разрешения Американского Метеорологического Общества.

На Рисунке 45 показана полная карта аттрактора, с двумя появляющимися множествами контуров, в то время как на Рисунке 46 показан контур аттрактора и длинное решение кривой, которая лежит внутри него. Если бы кривую можно было наблюдать с другого угла, она стала бы бабочкой. И теперь можно увидеть, в трех измерениях, как кривая может без прерываний пройти от одной поверхности к другой, без пересечения самой себя. Я решил включить описание аттрактора в статью.

Рисунок 46. Контур аттрактора на Рисунке 45, с продленным сегментом обиты, содержащейся в аттракторе. Орбита проходит нерегулярно между движениями по часовой стрелки в левой окружности и движением по часовой стрелке в правом.

Я всегда говорю своим студентам, когда они собираются писать собственную работу, выделить себе на это намного больше времени, чем они могут себе представить – по крайней мере месяц, если нужно писать тезисы. В попытках описать ясное объяснение некоторому понятию, вроде бы ясному для вас, вы можете обнаружить, что не понимаете явление в достаточной степени, чтобы его объяснить. Вам может понадобиться долгое время на обдумывание, а возможно и выполнение каких-то письменных исследований или компьютерных вычислений. Этот совет применим как к учителям, так и к студентам. В моем случае, в попытке понять и затем объяснить читателю, как именно эти две поверхности могли появиться, даже не смотря на то, что теория указывает на от, что это два решения кривых – в этом случае на каждой поверхности – не могло ничего появиться, я представил, что поверхности – а не просто кривые – не должны были появляться. Если они появились, то должна быть одна кривая на одной поверхности, которая должна была появиться с любой подобранной кривой на другой, что противоречило теории. Единственной оставшейся возможностью было то, что поверхности едва появились и в действительности установление их идентичности следует из ого, что одна – это решение кривой. Когда поверхность появилась так, что проходила под другой, а затем были две поверхности, проходящие под двумя другими, создавая всего четыре, но они все должны были выказывать свою идентичность, так что там должно было быть четыре поверхности, проходящие под другими четырьмя и так далее. Моим окончательным заключением, теперь уже обдуманным, было то, что поверхностей было бесконечное множеством, то есть как мы можем сказать сейчас, это был странный аттрактор. Я никогда не предполагал в то время, что этот аттрактор на какое-то время, намного позднее, станет основной темой статьи, которой я посвящу столько внимания.

В подготовке к статье я руководствовался некоторыми исследованиями Биркоффа о динамических системах. Когда я послал статью, обозреватель, достаточно компетентный и умный человек, заметил, что некоторые из моих результатов пересекаются с монографией Биркоффа, и он специально упомянул недавно переведенный текст книги «Качественная теория дифференциальных уравнений», математиков В.В. Немицкого и В.В. Степанова, опубликованную в России в 1946г. Во второй части книги множестве описания динамических систему, которые, как вы можете догадаться из заглавия, описаны в терминах дифференциальных уравнений. Авторы описывают определенное решение, как «стабильное состояние Ляпунова» - русского математика Александра Ляпунова, бывшего современником Пуанкаре и пионера теории стабильности – как если любое другое решение сходно с другим, отстоящим от него во времени. Это просто отсутствие ощутимой зависимости. Они продемонстрировали, что при определенных условиях, которым очевидно удовлетворяли уравнения, с которыми я работал, решение стабильного состояния Ляпунова, может быть периодическим или почти периодическим. Они проследили доказательства различных форм результатов Филипа Франклина в 1929 году и А.А. Маркова, сына А.А. Маркова «Процесс Маркова», известного в 1933г.

Из этого следовало, что непериодическое решение нестабильно в отношении состояния Ляпунова, или ощутимо зависимо, и было показано, что если основное решение системы не периодично, то основное поведение хаотично. В свете этого все мои, казалось бы новаторские идеи, потеряли значительную часть новизны. По иронии судьбы, я в начале пятидесятых даже играл в шахматы с Франклином из нашего факультетского клуба после ланча, и он в основном выигрывал также уверенно, как сейчас вынес свое решение. Мы никогда не обсуждали динамические системы.

И все же примечательно, что я пришел к результату, о котором не было показано в книге. Нигде не было такого выражения, как «нестабильность в состоянии Ляпунова». Как с Пуанкаре и Биркоффом, все сконцентрировались вокруг периодических решений. Сама идея изучать нерегулярные решения дифференциальных уравнения сами по себе не возникла и не захватила умы.

Благодаря интересу Джул Чарни, ставшей моей коллегой в МIT, моя статья вскоре привлекла внимание среди метеорологов. Вопреки всем, кто видел статью, Джул верил в результат. Более того, он признавал их важный потенциал для глобальной программы исследования атмосферы. И даже были проведены соответствующие эксперименты на предсказуемость с глобальными циркуляционными моделями.

Вскоре после этого стало очевидным, что три уравнения с их странным аттрактором, далеки от некого абстрактного устройства для демонстрации хаотичного поведения, чтобы описывать какой-то реальный мировой феномен. Как модель обычного эффекта конвекции, система несовершенная, поскольку накладывает определенные ограничения на движение. Если вы поставите множество блюдец на печь и включите горелку, вода в каждой чашке не станет синхронно подниматься с правой стороны и опадать с левой или наоборот в одном большом круговороте, как можно было бы решить из уравнений. Напротив, появится множество мелких круговоротов. Если бы что-то могло подавить избыточное движение, то оставшееся вполне приблизилось бы к уравнениям.

Один из способов подавить мелкие круговороты, это если сдвинуть чаши вместе, и позволить воде заполнить трубу, что в результате даст форму закрытой петли, прикрепленной к стене или удерживаемой вертикально. В компьютерной симуляции океанограф Пьер Веланде, работавший тогда в Вудсхоллском океанографическом институте, открыл, что когда такая петля нагревается в нижней точке, до умеренной температуры, вода может действительно начать циркулировать сначала в одном, а затем в другом направлении, переключаясь с нерегулярными интервалами.

Физическую реальность нерегулярного альтернативного циркулирования установили несколько лет позднее, когда плодовитые математики Уиллем Малкус и Луис Ховард, оба их MIT, в одно время и Руби Кришнамурти из флоридского университета, временно отложили ручки и карандаши и построили водяные колеся, которые послужили основой для изучения поведения, которое предсказывали три уравнения, вращение по часовой стрелке, а затем против. Колесо Малкуса было очень точным инструментов, подходящим для лабораторного контроля. Если хотите построить собственное колесо, то вам, вероятно, лучше последовать пути Ховарда или Кришнамрути. Основными компонентами их было вращающееся основание – возможно «Ленивая Сьюзан»[1] - а также бумажные чашки.

Просто проделав небольшое отверстие в днище каждой часки, ближе к краю, они затем выстроили их по окружности основания, так чтобы отверстия были за пределом края, и приклеили чашки на место. На Рисунке 47 схематично показано подобное устройство. Мельчайшие круги – это отверстия, посреди которых основания и верхние края чашей, а большой круг, показан многоточием под чашками, это край поворотного основания.

Рисунок 47. Схематический вид сверху водяного колеса, показаны основания верхних краев двенадцати чашек, с небольшими отверстиями в основаниях.

Чтобы управлять колесом, установите его под углом примерно в двадцать градусов и зафиксируйте основание чем-нибудь жестким. Затем позвольте воде литься из крана или шланга в самую верхнюю чашку. Как только она наполнится, колесо станет немного тяжелее сверху и повернется, позволяя другой чашке двинуться вверх и заполниться водой, в то время как первая будет медленно терять воду через отверстие в основании. Как только колесо установлено на подходящий угол, с льющейся в него водой, то с определенной степенью удачи, можно увидеть, как колесо будет вращаться то в одну, то в другую сторону.

Если покинуть лабораторию и вернуться в библиотеку, то можно найти научную статью, которая привлечет ваш интерес и вы возможно захотите взглянуть на сходные исследования. А затем обнаружите более ранние работы по соответствующим ссылкам. Если только вы не готовите исторический обзор, то скорее всего заинтересуетесь в недавних исследованиях, и можете захотеть прочитать другие статьи, которые появятся в будущем. Такие списки, действительно, регулярно появляются, и фиксируются в Научном Индексе Цитат, уважаемом журнале, с которым консультируются ученые. Он публикуется институтом научной информации в Филадельфии. Он регулярно раз в два месяца обновляется и список постепенно становится ежегодным, а дальше входит в сборник пятилетнего кумулятивного выпуска.

Ученые из других областей не читают рутинные метеорологические журналы, поскольку им уже трудно следить за той литературой, что касается непосредственно их поля деятельности. До 1970 года казалось, что моя статья касалась только метеорологов. Единственное исключение было в 1965 году, когда ее применил математик Ли СегельЭ, который занимался термальными конвекциями, проблемой, не столь далекой от метеорологи, и статья Сегеля в результате появился во многих метеорологических журналах. С 1970 по 1974 годы моя статья интересовала не метеорологов не более двух раз.

Если бы я опубликовал статью в математическом журнале, то она могла бы привлечь к себе борльшее внимание сообщества изучающего хаос, но ее не заметили практически никто из метеорологов. Несмотря на насмешки над некоторыми учеными, пишущими две статьи в разные журналы, что на деле оказывалось лишь дублированием одной статьи, очевидно, что я хотел бы расширить круг своих читателей.

Одно решающее событие, для меня, если не для всего развития теории хаоса, возникло несколько лет спустя. Джеймс Йорк, математик из университета Мэриленда, чья статья «Период трех ликов хаоса», с Тьеном Йеном Ли, положил начало долгому пути инноваций, которые имели место при содействии с Аланом Фоллером, покинувшем Вудсхол и свое восьми-футовое блюдце, и присоединившимся к Департаменту Метеорологии при университете Мериленда. Йорк упомянул некую работу, которую он делал, а Фоллер сказал, что это звучит как моя статья о не периодичности. Он познакомил Йорка с копией и также сделал множество копий, которые послал математикам и другим ученым кампуса Мериленда. Вскоре после этого, когда Йорк навестил Смейла в Беркли, он показал копию ему и Смейл очевидно сделал множество собственных копий и послал их ученым, активно изучающим динамические системы – в этой области все еще не было обширных разработок. Некоторые, как я уверен, увидели впервые странный аттрактор во плоти.

В ретроспективе, мне кажется, что то, что отличает мою работу от подобных предшественников, это то, что картина особого странного аттрактора, созданного дифференциальными уравнениями, это такая идея, что хаос это нечто напрашивающееся само, а не стремящееся нас избежать. В любом случае, «взрыв» случился и мою статью быстро стали упоминать при каждом удобном случае. Вероятно, я никогда не узнаю, что именно повлияло на такой взрыв интереса и что я вскоре стал крайне известным.

Вездесущность хаоса

Спустя несколько лет хаос буквально взорвал общественность. Я получил перепечатку статьи с забавным заголовком «Лоренцевы узлы превосходны». Я даже не мог представить себе, о каких узлах идет речь. Ноги росли от одного тополога Роберта Ф. Уильямся из Северо-западного университета. Я его встретил несколько лет ранее , когда мы оба посетили Стива Смейла в калифорнийском университете в Беркли. Топология – это отбившаяся ветвь математики – считается, что положил ей начало Пуанкаре. А вот теория узлов, в свою очередь, уже ветвь самой топологии.

Топология имеет дело с определенными свойствами кривых, поверхностей и агрегатными состояниями точек, которые не изменяются при продолжительном растягивании, сжатии или скручивании. Для тополога круг ил квадрат одинаковы, поскольку один может быть легко растянут или свернут в другой. В трех измерениях круг и близкая ему кривая с узлом сверху топологически отличаются, поскольку ни скручивание, ни сжатие, ни сгибание не уберут узла. Боб ссылался к аттрактору в форме бабочки, и он показал некое близкое решение кривых, которые лежали там с узлами.

Рисунок 48. Схематический вид перекрывающейся кривой, содержащейся в аттракторе трех-переменной конвекционной моделью. Кривая в трехмерном пространстве; где две линии пересекаются, прерванная линия лежит ниже сплошной. Кривая содержит узел, который не так просто увидеть.

Одной из этих кривой является схематическая фора на Рисунке 48. Здесь две ветки кривой пересекаются, одна нижняя даже прерывается. При взгляде на рисунок, я бы предположил, что он мог бы развернуться в окружность, когда я удвоил его при помощи шнура, соединил концы и постарался вытянуть, возник знакомый верхний узел, известный теоретикам узлов, как трилистник.

Работа была очень специализированной, но потребовалось много усилий кучи топологов, чтобы обнаружить что они не могут обнаружить никакого странного аттрактора. Они столкнулись с новыми агрегатными состояниями точек и они выглядели несколько проблематично, словно огромное число слоев в аттракторе соединились вместе.

Другие математики буквально влюбились в бифуркации – прерывистые изменения, которые имеют место в поведении, и часто бывают комплексными, в системах, когда значение константы слегка увеличивается. Мы рассмотрели некоторые примеры на снежном склоне и в лохани. Другие исследователи повернулись лицом к хаотичным морям с точки зрения целых островов – гамильтонианских копий странных аттракторов.

Возможно самое замечательное в интересе к хаосу было то, что он охватил огромные области человеческих знаний. От математиков, астрономов и исследователей земли хаос вскоре вторгся в физику, химию и естественные науки, а также охватил социальные науки и искусства.  Среди статей, появившихся на волне подобного интереса, и пытающихся развеять туман, были и такие, что вызывали во мне интерес по той или иной причине.

Возглавлял этот список пионер в популяризации динамики, начавший свою деятельность в Принстоне, математик-биолог Робер Мэй. Его динамическая система состояла из одиночного дифференциального уравнения с одной переменной, близко имеющей отношение к логистическому уравнению. Популяция отдельных живых единиц, скажем насекомых, часто отличается сильно из года в год. А иногда общее количество, в течении одного года, может служить для предсказания общей численности для следующего года. В отличие от маятника или скользящей доски, популяция насекомых не подчиняется «Ньютоновскому закону», а также различным связанным с ним уравнениям. И, тем не менее, справедливо можно заметить, что если в этом году популяция слишком маленькая, то она будет такой же малочисленной и в следующем году. Если же возникнет большой прирост, все равно им не будет хватать пищи, что в результате снова даст меньшее количество в следующем году. Следовательно, бОльшая популяция предшествует популяции среднего размера. Мэй обнаружил, что для умеренного отношения размножения и голода, размер должен флуктуировать хаотично.

Немногим ранее я уже рассматривал уравнение, напоминающее Мэя, в отношении к математической абстракции. Подобно примененным математиками водяным колесам, работа Мэя стала своего рода предупреждением, что уравнение может касаться чего-то материального в этом мире.

Также среди ранних работ было исследование Кэя Роббинсона, студента из MIT, имевшего дело с диском динамо-машины и их ролью в обращении магнитного поля земли, и одна работа Германа Хэйкена, из Штутгартского университета, имевшего дело с лазерами.  В основном интерес обеих работ заключался в том, что они оба изучали уравнения поворота, очень схожие с моими собственными. Это не значит, что диск динамо-машины и лазер – одно и то же, или у них равные температурные условия работы; но все три системы были настолько просты, что позволили увидеть определенную схожесть в принципе работы между собой. Действительно, это очень необычно, что упрощение подобного рода обнажило сходный принцип работы в различных системах, когда такая похожесть обычно незаметна.

Другое исследование оставило меня в смешанных чувствах.  Отто Рёслер из Тюбингенского университета сформулировал систему из трех дифференциальных уравнений как модель химической реакции. К этому времени было открыто множество систем дифференциальных уравнений с хаотичными решениями, но я почувствовал, что обнаружил самый простой вариант. Рёслер смог изменить это положение, предложив еще более простой вариант. И до сих пор каждый может ознакомиться с его записью.

Возвращаясь к совсем недавним исследованиям, позвольте мне вновь вкратце упомянуть гуманитарные науки. Вспышка различных болезней, которые стали причиной стремительного размножения микроорганизмов, стало возможным описать уравнениями, сходными с теми, что правительство применяло к популяциям в других целях. Часто существовало два различных уравнения, одно для хищника, другое, для хозяина. Сердцебиение, со случайными аритмиями, также привлекло к себе определенное внимание, что не удивительно в свете критического влияния этого на наши жизни. Казалось, множество людей захватило состояние их сердец, а описывать все это можно было все теми же средствами, какие применялись для укрепления локальной, национальной или мировой экономики.

В прошлом многие экономисты предполагали, что экономика имеет своеобразную сбалансированность, и что она все равно вернется к этому состоянию при любом понижении, при любых бизнес-колебаниях и что нет такой силы, которая могла бы ее обрушить. Теперь же экономисты относятся к экономике, как к динамической системе. Экономика хаотична, и бизнес-циклы, нерегулярные интервалы, все это не предсказуемо. Искусственное вмешательство может как создать циклы, так и подавить их, но более вероятно, что просто сократятся рецессии и удлинятся другие стороны.

Подобно тому, как точные уравнения метеорологии основаны на ньютоновских законах движения, и других законах, рассматривающих быстроживущие элементы – «квант» воздуха, достаточный для того, чтобы возбудить другие частицы – так и почти во всех точных уравнениях экономистов идет основание на более комплексных законах рынка, где рассматриваются составные элементы – бытие человека и его творений. Как метеорологи изучили на своем опыте, что большие агрегации масс единиц атмосферы продуцируют шторма и другие структуры, так и экономисты опытным путем поняли, различные агрегации людей, которые могут влиять на экономику. Они сформулировали простые системы уравнений, которые включают некоторые из допущенных пересечений, а также некоторые моменты, имеющие хаотичные решения.

Рассмотрим теперь искусства, среди которых музыку сначала. И здесь хаос может войти двумя путями. Первый, это через посредство тонов музыкальных инструментов. Струнные или духовые, или мембрановые, обычно вибрируют с периодическим постоянством, в соответствии с фундаментальными законами. Существуют обертона, которые придают инструменту его характерное звучание, но часто нерегулярный компонент может модифицировать звук, и он может стать, к примеру, хаотичным, а не просто случайным. В то же время, посетив недавно Дугласа Кифа  в департаменте музыки при университете Вашингтона, я был сильно удивлен, узнав, что нормальный тон саксафона не хаотичен. Хаос, кажется, здесь точно есть, однако, в мультифоничном тоне, который возникает при игре на саксофоне, существует две различных линии, которые возникают последовательно.

Другой отличной от хаоса формой музыки является то, что нельзя так просто обнаружить; это возникает во время процесса написания музыки. Если только это не было введено случайно, то есть вероятность того, что тот или иной кусочек может появляться в других темах. Чаще всего бывает так, что это не точное повторение, однако все же присутствует несколько нот, по которым можно безошибочно определить прежние элементы. Послушайте почти любую значительную работу Брамса – третью часть первой симфонии, например, - и вы услышите нечто, что будет сказано тогда, а затем немного повторится второй раз, а потом и в третий, немного видоизменившись.

Хаотичные решения простых систему уравнений примечательны за их частые приближения, а не за точное повторение. Иногда более чем одна «тема» может быть повторены.  Свидетельство на Рисунке 36, созданное движением небесных светил, тому подтверждение. Ранние композиторы имели собственные вариации, но сегодняшние творцы в той или иной степени повторяют флуктуации решений простейших уравнений в последовательности нот. Сходные моменты возникают и в визуальных искусствах.

Не так давно я получил неожиданную посылку от Кэролин Локетт, тогда еще студентки орегонского университета. В ней была видеокассета, которую она записала. Картина открывалась тремя небольшими яркими вертикальными линиями, стоящими на фоне темного фона. Вскоре линии стали танцевать и следующие четыре минуты танцевали так, что сформировали кривые в виде аттрактора бабочки, которая то складывала, то расправляла крылья. Достаточно точно она называла картину «Танцем на ветру».

Создайте свой собственный хаос

В годы, последовавшие сразу же вслед моему оригинальному открытию странного аттрактора, мой интерес в области хаоса сконцентрировался на эффекте предсказания погоды. Когда, спустя лет десять или около того, я начал получать приглашения поговорить об аттракторе, и изучил некоторые вещи, которые делают мои хозяева, мой интерес распространился на более серьезные аспекты. Кое-кто из тех, кто был удивлен существованием хаоса, тем не менее чувствовали, что исключение в регулярности – это правило, по крайней мере в системе, описанной простым множеством уравнений. Тем не менее я чувствовал, что должен опровергнуть эту мысль. С этой целью я постарался создать другие простые системы с не периодичным поведением. Мне не особо повезло с этим. Даже в 1980 году, в статье, чьей главной целью было продемонстрировать значимость аттракторов для метеорологического сообщества, я обнаружил, что проще выбрать систему уравнений, который можно было бы уменьшить до одного, что я определил еще почти 20 лет назад.

Вскоре после этого мне повезло. Одна за другой системы, которые я исследовал, доказали хаотичные решения. Временами казалось, что я вряд ли могу вообще избежать хаоса. Уравнения совсем не изменили внезапно свои свойства, просто я интуитивно изменил метод поиска. Хаос распознавался, как вездесущий, проявляя себя в таких очевидных сторонах жизни, как циклы бизнеса и музыкальные тона, но теперь еще и совершенно другим способом. Системы уравнений написанные скорее в на удачу, имели мало шансов описать хаотичное поведение. И теперь мне очень легко написать описание, согласно которому вы можете сотворить собственный хаос.

Маппингом этого добиться проще, чем потоками. Чтобы не получить бесконечное множество точек, уходящих в бесконечность, представьте себе ограниченную область, скажем квадрат. Определите результат растяжения квадрата в одном направлении, скажем горизонтально, сжав его другим способом, скажем вертикально, а затем скрутите его и уместите внутри квадратной области, которую эта фигура изначально занимала, создав маппинг в каждой точке оригинального квадрата, в точке, в которой происходит одновременно растягивание, компрессия, сгибание и наложение слоев. Если работаете с более чем двумя переменными – допустим на компьютере – возьмите куб или мультипространственую коробку и растяните ее по меньшей мере в одном направлении и сожмите в другом, деформируя ее.

Как альтернатива сгибанию, вы можете разломать компрессию, растянув квадрат на два или более кусков и соединить их внутри оригинального квадрата. Вы получите бесконечный маппинг. Подобным образом вы можете опустить или уменьшить компрессию и соединить два или более частей согнутого или сломанного растянутого квадрата над теми же частями оригинального квадрата. Вы затем можете получить не инвертированный маппинг – один из тех, где вы не всегда можете определить прошлое состояние из настоящего. Конечно, вы можете опустить и оба варианта, как компрессию, так и сгибание, но если вы опустите растягивание, то не получите хаос, поскольку близлежащие точки не будут двигаться врозь.

Рисунок 49. Создание хаотичного маппинга квадратной области, где показан квадрат и две кривые, которые соединены с сегментами двух сторон, в область, в которой квадрат маппирован. Точка а, b и с получены из А, В, и С, когда квадрат повернули против часовой стрелки. Точки В, С и D, получены из а, b и с при вертикальной компрессии, первого, второго и третьего изображения точки А.

Маппинг, который создал странные аттракторы на Рисунке 12 и 16 был определен из участка Пуанкаре на лыжном клоне, с точкой у, как одной из координат, непродолжительной, поскольку существовал конечный треугольник. Когда доска или санки скользят по одной стороне, они эффективно могут отпрыгнуть в другую сторону. Реальная доска, скользя по горизонтальной плоскости – это неинвертируемая система, поскольку в отличие от некоторых математических моделей досок, для которых сопротивление трения пропорционально скорости, она не двигается все более и более медленно; она останавливается внезапно. Если мы понаблюдаем доска пока она все еще движется, то сможем предсказать когда и где она остановится, и следовательно, что будет минуту спустя. Но если мы наблюдаем за той же доской, которая остановилась, то нет способа сказать, когда она остановился и следовательно, где она была минуту назад.

Рисунок 50. Тот же квадрат, что и на рисунке 49 с восьмиградусной полиномой приближенной к кривым, и аттрактор маппинга, содержащийся между кривыми.

Чтобы создать особый  продолжительный маппинг в двух измерениях, возьмем квадрат и нарисуем две кривые, исходящие из одной стороны в другую, как проиллюстрировано на Рисунке 49. Кривые не должны пересекать друг друга, а также не пересекать верх или низ квадрата, а также ни одна кривая не должна пересекать любую вертикальную линию более чем один раз.

Чтобы создать последовательность точек, в которой данная точка, скажем А на рисунке, последовательно участвует в маппинге, сначала давайте повернем квадрат на четверть против часовой стрелки. Это сместит точку А в точку а. В другом случае и с иным результатом, вы могли бы повернуть его по часовой стрелке или перевернуть по одной диагнонали или другой. Затем, сожмем каждую вертикальную линию в квадрате таким образом, чтобы она умещалась между двумя кривыми. Например, если а – это три четверти пути от нижней точки к верхней квадрата, переместим ее в точку В, на той же вертикальной линии и на три четверти поти от нижней до верхней кривой. Точка В – это точкам, в которой А маппирована. Повторяя оба шага, мы получим точки b и С, с и D, и так дале. Заметим, что это подобно тому, как создавалась лошадиная подкова на Рисунке 41.

Рисунок 51. Создание хаотичного маппинга квадратной области, где показаны три секции квадрата, разделенные вертикальными линиями из прерывистых точек, а также три трапецоида в которых эти секции маппированы.

Процедура не гарантирует получение хоса. Ваши поиски увенчаются большим успехом, если кривые имеют некоторую крутизну углов. Заметим, что как растягивание, так и уменьшение на втором этапе имеет место быть. Точки обычно отделены по горизонтали, и следовательно отделены по вертикали после вращения и переворота. Они будут двигаться ближе друг к другу, но точки изначально разделенные по вертикали скорее будут двигаться в стороны. Хаос может возникнуть с большей вероятностью именно на последних точках.

Рисунок 52. Аттрактор маппинга Рисунка 51.

Если только вы не работаете с высокоточным множеством, то скорее всего вы потеряете точку, после чего последующие точки будут еще сильнее отклоняться от четкого шаблона. И, в любом случае, вы можете обнаружить, что процедура стала более скучной после того, как точек стало двадцать или около тогою. Этого вполне достаточно, чтобы получить ощутимую зависимость, если вы сравните ее со второй последовательностью двадцати точек, то найдется определенное сходство. Однако они скорее всего не покажут периодичность или она будет слабой. И они будут полностью неспособны показать странный аттрактор, для которого необходимы возможно сотни или тысячи точек. Следовательно, уход от графического рисования мноджетсва к компьютерным моделям, становится все более очевидным. Для кривых вам потребуются формулы, которые выражают высоту над основанием в терминах расстояния с одной стороны.

Рисунок 53. Летающие объекты: три кусочка восьмикусочного аттрактора необратимого маппинга в двух измерениях.

Кривые на Рисунке 49 были нарисованы вручную. На Рисунке 50 сходные кривые, очевидно не совсем в тех же точках, но созданные по формулам на компьютере. Точка А была снова выбрана как начальная, а последовательность из 10 000 точек полностью сгенерирована. Первые 100 точек были представлены как возможная презентация переходных состояний, а оставшиеся построили фигуру, в которой явно прослеживается странный аттрактор, который определенно лежит между двумя кривыми.

Если вы предпочитаете прямые линии, то можете обратить свое внимание на лошадиную подкову Смейла, которая избегает таких вопросов, как, что происходит с точками, чьи изображения покидают квадрат., оставляя все изображения внутри. Давайте заштрихуем вертикальные линии на Рисунке 51, разделив квадрат на три полосы, в то время как сплошные линии делят часть на три трапецоида. Сожмем левую полоску по вертикали, а затем растянем по горизонтали, больше внизу, чем в веру. Так, чтобы она просто подходила по форме в нижний трапецоид. После чем сожмем подобным образом среднюю полосу, а также немного повернем ее на четверть против часовой стрелки перед растягиванием ее по вертикали, так чтобы она вписалась в правый трапецоид. Дадим сжатой правой полоске половину поворота до вписания в верхний трапецоид. Ширина полосок и трапецоидов может быть выбрана по вашему желанию. На компьютере вам потребуется три пары уравнений – по одному на полоску.

И снова, хаос не гарантирован. Мои первые попытки не увенчались успехом. Трюк состоял в том, чтобы сделать правый трапецоид очень узким – наверно в одну десятую ширины квадрата. На Рисунке 52 показан странный аттрактор, созданный при успешной попытке, и даже здесь есть некоторые сюрпризы; короткие темные штрихи с определенной возможной ориентацией вверх в одном или другом месте.

Я не могу дать вам описание того, как на компьютере создать интересные аттракторы, но теперь вы можете догадаться и сделать нечто собственное. Вы несомненно обнаружите, что работать с маппингом гораздо проще, чем с течениями. Вы можете создать интересные эффекту, просто выбрав необратимый маппинг. И я вам представляю один из моих любимых примеров на Рисунке 53. Три летающие объекта, достаточно странные, и кажется, что не идентифицируемые. Но на самом деле для идентификации вам нужно познакомиться с соответствующим разделом Приложения 2.

Случаен ли хаос?

Количество феноменов, так или иначе ведущих себя хаотично, так велико, что очень трудно составить их общий сравнительный список. Я лишь немного упростил его. Существует в основном два множества обстоятельств, при которых может вырасти. Вы можете себе представить, что некоторыми феноменами управляют детерминистические законы и что они ведут себя вполне регулярно, единственно что в какой-то точке их поведение более непредсказуемо, чем мы могли бы ожидать. Движение некоторых тяжелых тел, рассматривалось как вполне регулярное, но только до открытий Пуанкаре, который дал классический пример. Мы можем, с другой стороны, быть вполне уверены в нерегулярном поведении феномена, но можем думать, что это поведение возникло в результате некое влияния случайности, и только потом открыть, что все подчиняется вполне регулярным законам. Некоторые люби помещают в эту категорию океанские волны. Я рассмотрел более свободную концепцию хаоса, включая процесса с некоторой долей истинной случайности, открыв, что процессы проявляли бы более сходное поведение, если бы случайность убрали.

Вопрос, который я сейчас хотел бы задать, заключается в том, настолько ли хаос вездесущ, что процессы, ранее рассматриваемые как случайные, не нужно ли сейчас оценить, как хаотичные. В основном этот вопрос сформулировал в своем эссе сам Пуанкаре. Возможно тут мало что есть добавить к его словам, но вопрос может стать более ценен в свете нашего знания того, хаос как феномен настолько распространен.

Перед тем как пойти дальше, нам нужно рассмотреть вопрос свободы человеческого бытия, и возможно других живых созданий. Большинство из нас, вероятно, верит, что мы отвечаем на внешние воздействия в своей особой непредсказуемой манере, и что мы свободны в собственном выборе. Позвольте с вами не согласиться и вот почему. Допустим, что такое утверждение верно. То есть наше поведение просто набор случайностей, а значит каждый следующий шаг – это пространство вариантов.

Все нерегулярности, за исключением тех, что созданы разумным поведением, хаотичны или случайны? Простой пример позволяет допустить эту возможность. Допустим, чтоб мы спокойно понаблюдаем за кленом, чьи листья осенью представляют собой бриллиантово-золотистый оттенок. Каждый из этих листьев по отдельности нерегулярно падает с веток вниз на землю. Мы смотрим на случайность или хаос?

Очень может быть, что случайный порыв ветра сорвет целую кучу листьев с дерева. Ветви могут качаться так , что ветер просто обдерет листву. Даже если она опадет по другим причинам, именно ветер сопроводит падение листка на землю, возможно в соответствии с законами аэродинамики.

Ветер, дующий на дерево четверть минуты или около того, и заставивший лист упасть, это часть, хотя и очень маленькая, но часть глобальной погодной системы. Если мы признаем, что погода, это моментальный хаос, то более или менее вынужденно скажем, что сходные вещи происходят и с ветром и с листом. Ведь перед тем как лист упал всего за минуту, возможно за день до этого была какая-то человеческая активность, которая создала более сильный отклик, чем крыло бабочки, что создало ветер, который нес листок. Однако мы можем согласиться, что как только мы наблюдаем нерегулярное поведение погоды без нашего вмешательства, это и есть хаос. Заметим, что наша прошлая активность, изменившая ветер, изменит путь листа, но она же может изменить и нечто большее. Я подозреваю, что многие другие случайные вещи, зависящие главным образом от активности живых существ, не так случайны, если их тщательно проанализировать подобным образом.

Конечно, я не рассматриваю гигантский класс случайных феноменов – что случаются на субатомном уровне и управляются законами квантовой механики.  Существуют фундаментальные явления, которые происходят случайно за мельчайший промежуток времени. Поскольку все вещи делятся на субатомные частицы, значит ли это, что вся материя ведет себя случайно, а детерминизм это только абстракция?

Возможно и так, но хаос должен оставаться даже если мы вновь примем свободную интерпретацию. Я подозреваю, что основное поведение качающегося маятника, катящегося камня, разбивающейся о берег волны и большинства других макроскопических феноменов  были мы не так заметны, если бы квантовые события происходили в регулярные предсказуемые моменты, или в хаотически определенные моменты, вместо того чтобы быть случайными.

Давайте рассмотрим альтернативную возможность — что будущее направление вселенной, включая жизнь в ней, уже определена, и что наша очевидная свобода всего лишь иллюзия. Возможно нас удивит то, что кто-то может предположить подобное всерьез, но тем не менее, эта идея поднималась многими философами на протяжении веков. Больше всего она ассоциируется с французским математиком Пьером Симоном Лапласом, жившем  за век до Пуанкаре.

Я столкнулся с утверждением, что если вежи полностью определены, мы должны несколько расширить свои взгляды на мир. К примеру, не должны наказывать убийц или других преступников за то, что они совершили, поскольку если все предопределено, у них просто не было другого выхода. Не нужно специально за ним гоняться, поскольку то, что его схватят или нет уже предопределено, а также как и его наказание.  И мы ничего не можем с этим поделать. Действительно, очень вероятно и то, что кто-то из нас никогда не поверит в предопределенность и будет думать, что все мы делаем по собственному выбору.

И во что мы тогда должны поверить – что все предопределено или у нас свободная воля? Я считают, что правильный ответ очевиден, поскольку все мы поступаем как математики. Сначала делаем допущение, а потом на основании него уже получается определенное заключение. Давайте нашим допущением станет то, что мы должны поверить в предопределенность, даже если это трудно и не так приятно, как сладкая ложь.

Мы должны всецело поверить в свободную волю, Если свобода – это реальность, то мы должны делать правильный выбор. Если же нет, то по крайней мере не сможем совершить ошибки, мы ничего не сможем совершить сами по собственному выбору.

(В главное меню)